স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গ

পূর্ণবর্গ সংখ্যা

স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গ সম্পর্কে বিশদ আলোচনা

আমরা জানি,
যে কোনো বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = বাহু $\times$ বাহু = (বাহু $)^{2}$
যদি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য বলা হয় $x$ একক,
তাহলে ওই বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = $x^{2}$

বর্গ একক
সুতরাং যেকোনসংখ্যার বর্গ বলতে বোঝানো হয় ওই সংখ্যাকে ওই সংখ্যা দিয়ে একবার গুনকরে প্রাপ্ত গুণফলকে ।
যেমন উদহারণ স্বরূপ বলা যায়……
$4^{2}=4\times 4, 7^{2}=7\times 7, \left ( \frac{3}{2} \right )^{2}=\frac{3}{2}\times \frac{3}{2}, \left ( 5.7 \right )^{2}=5.7\times 5.7$ ইত্যাদি

এখন আমরা, বর্গ সংখ্যা বা পূর্ণবর্গ সংখ্যা এবং তার বৈশিষ্ট্য সমন্ধে বিশদ জানবো। আরও জানব পিথাগোরিয়ান ট্রিপ্লেট, বর্গমূল এবং স্বাভাবিক সংখ্যা, দশমিক সংখ্যা, ও ভগ্নাংশ সংখ্যার বর্গমূলের বিভিন্ন রকমের পদ্ধতি।
টেবিল ১ : ১ থেকে ১৫ পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গ

স্বাভাবিক সংখ্যা	স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গ
1	1
2	14
3	9
4	16
5	25
6	36
7	49
8	64
9	81
10	100
11	121
12	144
13	169
14	196
15	225

আমরা দেখছি যে 1, 4, 9, …., এই সংখ্যাগুলি অন্য কোনো স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গ, এই সংখ্যাগুলিকে বলা হয় বর্গসংখ্যা বা পূর্ণবর্গ সংখ্যা (Perfect square number) .
সাধারণত, যদি কোনো স্বাভাবিক সংখ্যা $a$ কে $a =b^{2}$

আকারে প্রকাশ করা যায়। যেখানে $b$ একটি স্বাভাবিক সংখ্যা, তখন $a$ কে বলা হবে একটি বর্গ সংখ্যা বা পূর্ণবর্গ সংখ্যা।

টেবিল : ১ থেকে দেখতে পাই যে, 1 থেকে 225 পর্যন্ত কিছু সংখ্যা পূর্ণবর্গ আর বাকি সংখ্যাগুলি অপূর্ণবর্গ সংখ্যা অৰ্থাৎ সমস্ত স্বাভাবিক সংখ্যা পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়।
তাহলে আমরা কিভাবে বুঝবো যে কোন স্বাভাবিক সংখ্যাগুলি পূণবর্গ আর কোন স্বাভাবিক সংখ্যাগুলি পূর্ণবর্গ নয়।
এখন আমরা শিখবো স্বাভাবিক সংখ্যা মধ্যে কোনগুলি পূর্ণবর্গ সংখ্যা ও কোনগুলি অপূর্ণবর্গ সংখ্যা আলাদা করার পদ্ধতি।
একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা 16 নিলাম,
$16=\underbrace{2\times 2}\times \underbrace{2\times 2}$
16 কে একেই মৌলিক সংখ্যার জোড়ের গুনফল আকারে করা যাচ্ছে।
আবার অন্য একটি পূর্ণবর্গ স্বাভাবিক সংখ্যা 144 নিয়ে দেখি।
$144=\underbrace{2\times 2}\times \underbrace{2\times 2}\times \underbrace{3\times 3}$
144 কে একেই মৌলিক সংখ্যার জোড়ের গুনফল আকারে করা যাচ্ছে।
এবার একটি অপূর্ণবর্গ স্বাভাবিক সংখ্যা 48 নিয়ে দেখি।
$48=\underbrace{2\times 2}\times \underbrace{2\times 2}\times 3$
48 কে একেই মৌলিক সংখ্যার জোড়ের গুনফল আকারে করা যাচ্ছে না কারণ 3 মৌলিক উৎপাদকটি একবার উপস্থিত গুণফলে।
$\therefore$

উপরের তিনটি উদাহরণ থেকে দেখা যাচ্ছে যে,

Class -VIII/ Model activity task / বহু বিকল্পভিত্তিক প্রশ্নঃ পরিচিতি ও অনুশীলনী গণিত/ অষ্টম শ্রেণী

পূর্ণবর্গ সংখ্যাকে সর্বদা একেই মৌলিক সংখ্যার জোড়ের গুনফল আকারে প্রকাশ করা যায়কিন্তু অপূর্ণবর্গ সংখ্যাকে একেই মৌলিক সংখ্যার জোড়ের গুনফল আকারে প্রকাশ করা যায় না।

নিজেরা চেষ্টা করো : নিচের সংখ্যাগুলি পূর্ণবর্গ সংখ্যা কিনা বোলো
$\\(i). 676\\\\(ii).324\\\\(iii). 720\\\\(iv). 1152$

উদাহরণ : ১সবথেকে ছোট কোন স্বাভাবিক সংখ্যা দিয়ে 720 কে গুন করলে 720 একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।
সমাধান :
   $720=\underbrace{2\times 2}\times \underbrace{2\times 2}\times \underbrace{3\times 3}\times 5$
720 এর মৌলিক উৎপাদকে দেখছি যে ‘5’ উৎপাদকটি একবার উপস্থিত আছে, তাই ‘5’ কে একেই মৌলিক উৎপাদের জোড় আকারে প্রকাশ করা যাচ্ছে না।
সুতরাং 720 স্বাভাবিক সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে যদি 720 কে 5 দিয়ে গুন করা হয়, তাহলে 5 উৎপাদকটি একেই মৌলিক সংখ্যার জোড় আকারে অবস্থান করবে।
$\therefore$ সবথেকে ছোট স্বাভাবিক সংখ্যা যা দিয়ে 720 কে গুন করলে 720 একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে তা হলো 5 .

উদাহরণঃ ২ সবথেকে ছোট কোন স্বাভাবিক সংখ্যা দিয়ে 2527 কে ভাগ করলে ভাগফল একটি পূর্ণবর্গসংখ্যা হবে ?

উদাহরণ ৩: সব থেকে ছোট স্বাভাবিক সংখ্যাটি নির্ণয় করো যা দিয়ে 5808 কে ভাগ করলে ভাগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে এবং স্বাভাবিক সংখ্যাটি নির্ণয় করো যার বর্গ ভাগফলটি।

উদাহরণ ৪: সব থেকে ছোট স্বাভাবিক সংখ্যাটি নির্ণয় করো যা দিয়ে 12375 কে ভাগ করলে ভাগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে এবং স্বাভাবিক সংখ্যাটি নির্ণয় করো করো যার বর্গ প্রাপ্ত পূর্ণবর্গ সংখ্যাটি।

পূর্ণবর্গ সংখ্যার বৈশিষ্ট্য:

টেবিল ২: ১ থেকে ৩০ পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গ

স্বাভাবিক সংখ্যা	স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গ	স্বাভাবিক সংখ্যা	স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গ
1	1	16	256
2	4	17	289
3	9	18	324
4	16	19	361
5	25	20	400
6	36	21	441
7	49	22	484
8	64	23	529
9	81	24	576
10	100	25	625
11	121	26	676
12	144	27	729
13	169	28	784
14	196	29	841
15	225	30	900

টেবিল ২, থেকে আমরা দেখতে পাচ্ছি যে পূর্ণবর্গ সংখ্যার একক স্থানের অঙ্ক 0, 1, 4, 5, 6 অথবা 9 থাকে

Solution of sample questions -VIII

কিন্তু কোনো সংখ্যার একক স্থানের অঙ্ক যদি 0, 1, 4, 5, 6, 9 থাকে তাহলে কি আমরা সেই সংখ্যাকে পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে বলতে পারবো?
এই প্রশ্নের উত্তর হবে না বলা যাবে না সবসময়ে।
উদহারণ স্বরূপ বলা যায় 15, 21, 30, 14, 29, 26… এরা কেউই পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়।
তবে এটা বলা যাবে যে কোনো পূর্ণবর্গ সংখ্যার শেষ অঙ্ক 0, 1, 4, 5, 6, 9 থাকবে কিন্তু কোনো সংখ্যারশেষে 0, 1, 4, 5, 6, 9 থাকলে যে পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে তা বলা যাবে না।

বৈশিষ্ট্য ১: কোনো সংখ্যার শেষে অঙ্ক যদি 2, 3 , 7, 8 হয় তাহলে সেই সংখ্যাটি কখনোও পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে না।

$\\10^{2}=100\\\\20^{2}=400\\\\100^{2}=10000\\\\1000^{2}=1000000$

পূর্ণবর্গ সংখ্যার শেষে যুগ্ম সংখ্যক শূন্য থাকে, কিন্তু কোনো সংখ্যার শেষে যুগ্মসংখ্যক শূন্য থাকলে সেই সংখ্যা যে পূর্ণবর্গ হবে তা বলা যাবে না। উদহারণ স্বরূপ বলা যায়, 300, 500,…ইত্যাদি

বৈশিষ্ট্য ২: কোনো সংখ্যার শেষে অযুগ্ম সংখ্যক শূন্য আছে সেই সংখ্যাটি কখনো পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে না।

$\\2^{2}=4,4^{2}=16,6^{2}=36,8^{2}=64...\\\\3^{2}=9,5^{2}=25,7^{2}=49,9^{2}=81$

বৈশিষ্ট্য ৩: যুগ্ম সংখ্যার বর্গ সর্বদা যুগ্ম সংখ্যা হবে এবং অযুগ্ম সংখ্যার বর্গ অযুগ্ম সংখ্যা হবে।

টেবিল ২: থেকে আমার বলতে পারি কোনো সংখ্যার এককের স্থানে অঙ্ক এবং তার বর্গ সংখ্যার এককের স্থানে অঙ্ক
$i.$ যদি কোনো সংখ্যার এককের ঘরে অঙ্ক 1 অথবা 9 থাকে, তাহলে তার বর্গের এককের ঘরে অঙ্ক 1হবে।
$ii.$ যদি কোনো সংখ্যার এককের ঘরে অঙ্ক 4 অথবা 6 থাকে, তাহলে তার বর্গের এককের ঘরে অঙ্ক 6 থাকবে।
$iii.$ যদি কোনো সংখ্যার এককের ঘরে অঙ্ক 2 অথবা 8 থাকে, তাহলে তার বর্গের এককের ঘরে অঙ্ক 4 থাকবে।
$iv.$ যদি কোনো সংখ্যার এককের ঘরে অঙ্ক 3 অথবা 7 থাকে, তাহলে তার বর্গের এককের ঘরে অঙ্ক 9 থাকবে।
$v.$ যদি কোনো সংখ্যার এককের ঘরে অঙ্ক 5 থাকে, তাহলে তার বর্গের এককের ঘরে অঙ্ক 5 থাকবে। $vi.$ যদি কোনো সংখ্যার এককের ঘরে অঙ্ক 0 থাকে, তাহলে তার বর্গের এককের ঘরে অঙ্ক 0 থাকবে।

কিছু গুরুত্বপূর্ণ আলোচনা স্বাভাবিক সংখ্যা এবং পূর্ণবর্গ সংখ্যা সমন্ধে :

Square root of perfect square

$i.$ পর পর দুটি পূর্ণবর্গ সংখ্যার মাঝে কতগুলি অপূর্ণবর্গ সংখ্যা থাকে ?
$\overbrace{1}^{1^{2}},\underbrace{2,3}_{2\times 1},\overbrace{4}^{2^{2}},\underbrace{5,6,7,8}_{2\times 2},\overbrace{9}^{3^{2}},\underbrace{10,11,12,13,14,15}_{2\times 3},\overbrace{16}^{4^{2}},....$
দেখা যাচ্ছে যে $2\times n$ সংখ্যক অপূর্ণবর্গ সংখ্যা থাকে পর পর দুটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা $n^{2}$ এবং $\left (n+1 \right )^{2}$ এর মর্ধ্যবর্তী স্থানে।

উদাহরণ ৫ : $10^{2}$ এবং $11^{2}$ এর মাঝে কতগুলি স্বাভাবিক সংখ্যা আছে?
উদাহরণ ৬: $111^{2}$ এবং $112^{2}$ এর মাঝে কতগুলি স্বাভাবিক সংখ্যা আছে ?’

অযুগ্ম সংখ্যার যোগফলের সঙ্গে পূর্ণবর্গ সংখ্যার সম্পর্ক

$1=1^{2}\\\\1+3=4=2^{2}\\\\1+3+5=9=3^{2}\\\\1+3+5+7=16=4^{2}\\\\1+3+5+7+9=25=5^{2}$

$\therefore$ প্রথম $n$ সংখ্যক অযুগ্ম স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল = $n^{2}$

এখন আমরা দেখবো, যে সব স্বাভাবিক সংখ্যা পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়, সেই সংখ্যা গুলোকে আমরা ১ থেকেশুরু করে  পর পর অযুগ্ম স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল আকারে প্রকাশ করতে পারি কিনা  ধরি, একটি স্বাভাবিক সংখ্যা $26$ , চেক করবো $26$ কে $1$ থেকে শুরু করে $26$ পর্যন্ত পর পরঅযুগ্ম সংখ্যার যোগফল আকারে প্রকাশ করতে পারি কিনা
$26-1=25, 25-3=22, 22-5=17, 17-7=10,10-9=1$
$26$ কে $1$ থেকে শুরু করে $26$ পর্যন্ত পর পর অযুগ্ম সংখ্যার যোগফল আকারে প্রকাশ করা যাচ্ছে না।
$\therefore$ বলা যায় যে,
যদি কোনো স্বাভাবিক সংখ্যাকে 1 থেকে শুরু করে ওই সংখ্যা পর্যন্ত অযুগ্ম সংখ্যার যোগফল আকারেপ্রকাশ করা না যায়, তাহলে ওই স্বাভাবিক সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হবে না।

উদাহরণ ৭: নিচের সংখ্যা গুলি পূর্ণবর্গ সংখ্যা কিনা বোলো যুক্তি দিয়ে
$\left (i \right ). 85, \left (ii \right ).61,\left (iii \right ).57,\left (iv \right ).64$

অযুগ্ম সংখ্যার বর্গকে পর পর দুটি সংখ্যার যোগফল আকারে প্রকাশ করা যায়

যেমন, $\\3^{2}=4+5\left ( \frac{3^{2}-1}{2}+ \frac{3^{2}+1}{2}\right )\\\\5^{2}=12+13\left ( \frac{5^{2}-1}{2}+ \frac{5^{2}+1}{2}\right )\\\\7^{2}=24+25\left ( \frac{7^{2}-1}{2}+ \frac{7^{2}+1}{2}\right )$

$\therefore$ যে কোনো অযুগ্ম সংখ্যার বর্গকে পর পর দুটি স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল আকারে প্রকাশকরা যায় কিন্তু পর পর যে কোনো দুটি স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হতে পারে না।

উদাহরণ ৮: $23^{2}$ এবং $37^{2}$ কে পর পর দুটি স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফলের আকারে প্রকাশ করো।

গুরুত্বপূর্ণ সূত্র : যে সব সংখ্যার এককের ঘরে $5$ থাকে, তাদের বর্গ সংখ্যা বের করার সূত্র
$25^{2}=\left ( 2\times 3 \right )$ শতক $+25=625$
$35^{2}=\left ( 3\times 4 \right )$ শতক $+25=1225$
$125^{2}=\left ( 12\times 13 \right )$ শতক $+25=15625$
$\\\left ( x5 \right )^{2}=\left ( 10x+5 \right )^{2}=100x^{2}+100x+25\\\\\Rightarrow 100\left ( x^{2} +x\right )+25\\\\\Rightarrow 100\times x\times \left ( x+1 \right )+25$

উদাহরণ ৯: বর্গ নির্ণয় করো
$\\\left ( i \right ).75\\\\\left ( ii \right ). 95\\\\\left ( iii \right ).145$

পিথাগোরাস ট্রিপ্লেট কী :
$\\3^{2}+4^{2}=5^{2}\rightarrow \left ( 3,4,5 \right )\\\\6^{2}+8^{2}=10^{2}\rightarrow \left ( 6,8,10 \right )$
$\left ( 3,4,5 \right ), \left ( 6,8,10 \right ),...$ এই জাতীয় ট্রিপ্লেট সংখ্যা গুলিকে পিথাগোরাস ট্রিপ্লেট বলা হয়।
ধরি, $x,y,z$ তিনটি স্বাভাবিক সংখ্যা কে পিথাগোরাস ট্রিপ্লেট আছে বলা হবে যদি
$x^{2}+y^{2}=z^{2}$ হয়
$x> 1$ হলে পিথাগোরাস ট্রিপ্লেট এর সাধারণ রূপ হলো $\left ( 2x, x^{2}-1,x^{2}+1 \right )$

উদাহরণ ১০: পিথাগোরাস ট্রিপ্লেট লেখো যার সবথেকে ছোটো সংখ্যাটি $8$

উদাহরণ ১১: পিথাগোরাস ট্রিপ্লেট লেখো যার একটি সংখ্যা
$\\\left ( i \right ).12\\\\\left ( ii \right ).63\\\\\left ( iii \right ).80\\\\\left ( iv \right ).15$

স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গ সম্পর্কিত MCQ প্রশ্ন পত্র

পূর্ণবর্গ সংখ্যার বর্গমূল বের করার সহজ পদ্ধতি:

http://sdtutoronline.com/square-root-of-perfect-square/

এর পরের পোস্ট -এ আমরা কোনো স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল নিয়ে আলোচনা করবো

আরও উন্নিতির জন্যে সকলের কাছে থেকে যেকোনো পরামর্শ সাদরে গ্রহন করা হবে।

Spread/ share this post

পূর্ণবর্গ সংখ্যা

স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গ সম্পর্কে বিশদ আলোচনা

Leave a Comment Cancel reply