CLASS- VII- Exercise-12.1 (WB) কষেদেখি-12.1 বীজগাণিতিক সূত্রাবলী

CLASS- VII

শ্রেণী সপ্তম

কষে দেখি -12.1

বীজগাণিতিক সূত্রাবলী

$(a+b)$ কে $(a+b)$ দিয়ে গুন করলে গুণফল নিচের কোনটি হবে

(i). $a^2+b^2$ (ii). $(a+b)^2$ (iii). $2(a+b)$

(iv). $4ab$

সমাধানঃ

$(a+b)\times (a+b)= (a+b)^2$

$(x+7)^2=x^2+14x+k$ হলে $k$ এর মান নিচের কোনটি হবে ।

(i). $14$ (ii). $49$

(iii). $7$ (iv). কোনটি নয়

সমাধানঃ

$(x+7)^2=x^2+14x+k\\\\\Rightarrow x^2+14x+49=x^2+14x+k$

উভয় পক্ষকে তুলনা করে পাই

$k=49$

$a^2+b^2$ এর সাথে কোন বীজগাণিতিক সংখ্যামালা যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যামালা হবে তা লেখ ।

(i). $4ab$ (ii). $-4ab$ (iii). $2ab$

বা $-2ab$ (iv). $0$

সমাধানঃ

$a^2+b^2=a^2+b^2\pm2ab\mp2ab\\\\\Rightarrow a^2+b^2=(a\pm b)^2\mp2ab$

$\therefore$ $a^2+b^2$

এর সাথে $\pm2ab$ সংখ্যামালা যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যামালা হবে ।

$(a+b)^2=a^2+6a+9$ হলে $b$ এর ধনাত্মক মান নিচের কোনটি

(i). $9$ (ii). $6$ (iii). $3$ (iv). $-3$

সমাধানঃ

$(a+b)^2=a^2+6a+9\\\\\Rightarrow a^2+2ab+b^2=a^2+2.a.3+(3)^2$

উভয় পক্ষকে তুলনা করে পাই

$b=3$

$x^2+\frac{1}{4}x$ এর সঙ্গে নিচের কোণটি যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ সংখ্যামালা হবে

(i). $\frac{1}{64}$ (ii). $-\frac{1}{64}$ (iii). $\frac{1}{8}$ (iv). কোনটি নয়

সমাধানঃ

$x^2+\frac{1}{4}x\\\\=x^2+2. x.\frac{1}{8}+\frac{1}{64}-\frac{1}{64}\\\\\Rightarrow x^2+\frac{1}{4}x=(x+\frac{1}{8})^2-\frac{1}{64}$

$x^2+\frac{1}{4}x$ এর সঙ্গে $\frac{1}{64}$ কোণটি যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ সংখ্যামালা হবে .

(i). $k$ এর কোন মান বা মানগুলির জন্য $c^2+kc+\frac{1}{9}$ পূর্ণবর্গ হবে লিখ ।

সমাধানঃ

$c^2+kc+\frac{1}{9}\\\\=c^2+(\frac{1}{3})^2\pm2.c.\frac{1}{3}\mp2.c.\frac{1}{3}+kc\\\\\Rightarrow c^2+kc+\frac{1}{9}=(c\pm\frac{1}{3})^2\mp2.c.\frac{1}{3}+kc\\\\\Rightarrow c^2+kc+\frac{1}{9}=(c\pm\frac{1}{3})^2+c(k\mp2.\frac{1}{3})$

$c^2+kc+\frac{1}{9}$ পূর্ণবর্গ হবে যদি

$(k\mp2.\frac{1}{3})=0\\\\\Rightarrow k= \pm \frac{2}{3}$

(ii). $9p^2+\frac{1}{9p^2}$ সংখ্যামালাটি থেকে কোন সংখ্যা বা সংখ্যাগুলি বিয়োগ করলে বিয়োগফল পূর্ণবর্গ হবে তা নির্ণয় করো ।

সমাধানঃ

$9p^2+\frac{1}{9p^2}=(3p)^2+(\frac{1}{3p})^2\pm2.3p.\frac{1}{3p}\mp2.3p.\frac{1}{3p}\\\\\Rightarrow 9p^2+\frac{1}{9p^2}=(3p\pm\frac{1}{3p})^2\mp2.3p.\frac{1}{3p}$

$9p^2+\frac{1}{9p^2}$ সংখ্যামালাটি থেকে যদি $\mp2$ বিয়োগ করা হয় তাহলে বিয়োগফলটি পূর্ণবর্গ হবে .

(iii). $(x-y)^2=4-4y+y^2$ হলে $x$ এর মান কত হবে তা নির্ণয় করো ।

সমাধানঃ

$(x-y)^2=4-4y+y^2\\\\\Rightarrow x^2-2xy+y^2= 4-4y+y^2=(2)^2-2.2.y+(y)^2$

উভয় পক্ষকে তুলনা করে পাই

$x=2$

(iv). $(c-3)^2=c^2+kc+9$ হলে $k$ এর মান কি হবে লেখ ।

সমাধানঃ

$(c-3)^2=c^2+kc+9\\\\\Rightarrow c^2-2.c.3+9=c^2+kc+9$

উভয় পক্ষকে তুলনা করে পাই

$kc=-6c\\\\\Rightarrow k=-6$

সূত্রের সাহায্যে সরল করোঃ

(i). $(2q-3z)^2-2(2q-3z)(q-3z)+(q-3z)^2$

সমাধানঃ

$\\(2q-3z)^2-2(2q-3z)(q-3z)+(q-3z)^2\\\\=\left \{ (2q-3z)-(q-3z) \right \}^{2}\\\\= (2q-3z-q+3z) ^{2}\\\\=q^2$

(ii). $(2p+2q-3r)^2+2(2p+2q-3r)(4r-2p-q)+(4r-2p-q)^2$

সমাধানঃ

$\\(3p+2q-4r)^2+2(3p+2q-4r)(4r-2p-q)+(4r-2p-q)^2\\\\=\left \{(3p+2q-4r)+ (4r-2p-q) \right \}^2\\\\=(3p+2q-4r+4r-2p-q)^2\\\\=(p+q)^2$

পূর্ণবর্গকারে প্রকাশ করোঃ

(i). $16a^2-40ac+25c^2$

সমাধানঃ

$\\16a^2-40ac+25c^2\\\\=(4a)^2-2.4a.5c+(5c)^2\\\\=(4a-5c)^2$

(ii). $4p^2-2p+\frac{1}{4}$

সমাধানঃ

$4p^2-2p+\frac{1}{4}\\\\=(2p)^2-2.2p.\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2\\\\=(2p-\frac{1}{2})^2$

(iii). $1+\frac{4}{a}+\frac{4}{a^2}$

সমাধানঃ

$1+\frac{4}{a}+\frac{4}{a^2}\\\\=(1)^2+2.1.\frac{2}{a}+(\frac{2}{a})^2\\\\=(1+\frac{2}{a})^2$

(iv). $9a^2+24ab+16b^2$

সমাধানঃ

$\\9a^2+24ab+16b^2\\\\=(3a)^2+2.3a.4b+(4b)^2\\\\=(3a+4b)^2$

পূর্ণবর্গকারে প্রকাশ করে মান নির্ণয় করো ।

(i). $64a^2+16a+1$ যখন $a=1$

সমাধানঃ

$\\64a^2+16a+1\\\\=(8a)^2+2.8a.1+(1)^2\\\\=(8a+1)^2$

যখন $a=1$

$(8a+1)^2=(8.1+1)^2=(9)^2=81$

(ii). $25a^2-30ab+9b^2$ যখন $a=3, b=2$

সমাধানঃ

$\\25a^2-30ab+9b^2\\\\=(5a)^2-2.5a.3b+(3b)^2$

$=(5a-3b)^2$ ; $a=3, b=2$ এর মান বসিয়ে পাই

শ্রেণী সপ্তম/-কষে দেখি-12.2

$\\=(5.3-3.2)^2\\\\=(15-6)^2\\\\=(9)^2=81$

(iii). $64-\frac{16}{p}+\frac{1}{p^2}$ যখন $p=-1$

সমাধানঃ

$\\64-\frac{16}{p}+\frac{1}{p^2}\\\\=(8)^2-2.8.\frac{1}{p}+(\frac{1}{p})^2$

$=(8-\frac{1}{p})^2$ ; $p=-1$ মান বসিয়ে পাই

$\\=(8-\frac{1}{p})^2\\\\=(8+1)^2=81$

(iv). $p^2q^2+10pqr+25r^2$ যখন $p=2, q=-1, r=3$

সমাধানঃ

$\\p^2q^2+10pqr+25r^2\\\\=(pq)^2+2.pq.5r+(5r)^2$

$=(pq+5r)^2$ ; $p=2, q=-1, r=3$ মান বসিয়ে পাই

$=(2\times-1+5\times3)^2\\\\=(-2+15)^2=(13)^2=169$

$(a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2)$ এবং $(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$

বা $ab=(\frac{a+b}{2})^2-(\frac{a-b}{2})^2$ এর সাহায্যে

(i). $st$ ও $(s^2+t^2)$ এর মান লিখো যখন $s+t=12$ ও $s-t=8$

সমাধানঃ

$st=\left ( \frac{s+t}{2} \right )^2-\left ( \frac{s-t}{2} \right )^2$

$s+t=12$ ও $s-t=8$ মান বসিয়ে পাই

$\\=\left ( \frac{12}{2} \right )^2-\left ( \frac{8}{2} \right )^2\\\\=\left ( 6 \right )^{2}-\left ( 4 \right )^{2}\\\\=36-16=20$

$(s^2+t^2)\\\\=\frac{1}{2}\times \left \{ 2\left (s^2+t^2 \right ) \right \}\\\\=\frac{1}{2}\left \{ (s+t)^2+(s-t)^2 \right \}$

$=\frac{1}{2}\left \{ (12)^2+(8)^2 \right \}$ ; $s+t=12$ ও $s-t=8$ মান বসিয়ে পাই

$\\=\frac{1}{2}\left ( 144+64 \right )\\\\=\frac{1}{2}\times 208=104$

(ii). $8xy(x^2+y^2)$ এর মান লিখো যখন $x+y=5$ ও $x-y=1$

সমাধানঃ

$\\8xy(x^2+y^2)\\\\=4xy\times2(x^2+y^2)\\\\=\left \{ \left ( x+y \right )^2-\left ( x-y \right )^2 \right \}\left \{ \left ( x+y \right )^2+\left ( x-y \right )^2 \right \}$

$=\left \{ \left ( 5\right )^2-\left ( 1 \right )^2 \right \}\left \{ \left (5 \right )^2+\left ( 1 \right )^2 \right \}$ ; $x+y=5$ ও $x-y=1$ মান বসিয়ে পাই