শ্রেণী সপ্তম/-কষে দেখি-12.2

শ্রেণী সপ্তম

কষে দেখি -12.2

বীজগাণিতিক সূত্রাবলী

………………………………………………………………………………………………..

1. $\left ( x+a \right )\left ( x+b \right )=x^{2}+\left ( a+b \right )x+ab$ এই অভেদের সাহায্যে নিচের বীজগাণিতিক সংখ্যামালা গুলি গুন করি ।

$\left ( i \right ). \left ( x+7 \right )\left ( x+1 \right )$

সমাধানঃ

$\left ( x+7 \right )\left ( x+1 \right )\\\\=x^{2}+\left \{ \left ( 7 \right )+\left ( 1 \right ) \right \}x+\left ( 7 \times 1 \right )\\\\=x^{2}+8x+7$

$\left ( ii \right ). \left ( x-8 \right )\left ( x-2 \right )$

সমাধানঃ

$\left ( x-8 \right )\left ( x-2 \right )\\\\=x^{2}+\left \{ \left ( -8 \right )+\left ( -2 \right ) \right \}x+\left ( -8\times -2 \right )\\\\=x^{2}-10x+16$

$\left ( iii \right ). \left ( x+9 \right )\left ( x-6 \right )$

সমাধানঃ

$\left ( x+9 \right )\left ( x-6 \right )\\\\=x^{2}+\left \{ \left ( 9 \right )+\left ( -6 \right ) \right \}x+\left ( 9\times -6 \right )\\\\=x^{2}+3x-54$

$\left ( iv \right ). \left ( 2x+1 \right )\left ( 2x-1 \right )$

সমাধানঃ

$\left (2x+1\right )\left (2x-1\right )\\\\=\left \{ 2x+\left ( +1 \right ) \right \}\left \{ 2x+\left ( -1 \right ) \right \}\\\\=(2x)^{2}+\left \{ \left (+1 \right )+\left (-1 \right ) \right \}(2x)+\left ( -1\times 1 \right )\\\\=4x^{2}-1$

$\left ( v \right ). \left ( xy-4 \right )\left ( xy+2 \right )$

সমাধানঃ

$\left (xy-4\right )\left (xy+2\right )\\\\=\left \{ xy+\left ( -4 \right ) \right \}\left \{ xy+\left ( 2 \right ) \right \}\\\\=(xy)^{2}+\left \{ \left (-4 \right )+\left (2 \right ) \right \}xy+\left ( -4\times 2 \right )\\\\=(xy)^{2}-2xy-8$

$\left ( vi \right ). \left (a^{2} +5\right )\left ( a^{2} -4\right )$

সমাধানঃ

$\left (a^{2} +5\right )\left ( a^{2} -4\right )\\\\=\left \{ a^{2}+\left ( 5 \right ) \right \}\left \{ a^{2}+\left ( -4 \right ) \right \}\\\\=a^{4}+\left \{ \left ( 5 \right )+\left (-4 \right ) \right \}a^{2}+\left ( 5\times -4 \right )\\\\=a^{4}+a^{2}-20$

2. সূত্রের সাহায্যে দেখাই যে —

$(i). \left ( 2x+3y \right )^{2}-\left ( 2x-3y \right )^{2}=24xy$

সমাধানঃ

বাম পক্ষ

$\left ( 2x+3y \right )^{2}-\left ( 2x-3y \right )^{2}\\\\=4x^{2}+2.2x.3y+9y^2-\left ( 4x^2-2.2x.3y+9y^2 \right )\\\\=4x^{2}+12xy+9y^2-4x^2+12xy-9y^2\\\\=24xy$

ডান পক্ষ

$24xy$

$\therefore$ বাম পক্ষ =ডান পক্ষ

$(ii). \left ( a+2b \right )^{2}+\left ( a-2b \right )^{2}=2\left ( a^2+4b^2 \right )$

সমাধানঃ

বাম পক্ষ

$\left ( a+2b \right )^{2}+\left ( a-2b \right )^{2}\\\\=a^2+4ab+4b^2+a^2-4ab+4b^2\\\\=2a^2+8b^2\\\\=2(a^2+4b^2)$

ডান পক্ষ

$2(a^2+4b^2)$

$\therefore$ বাম পক্ষ =ডান পক্ষ

$(iii). \left ( l+m \right )^{2}=\left ( l-m\right )^{2}+4lm$

সমাধানঃ

বাম পক্ষ

$\left ( l+m \right )^{2}$

ডান পক্ষ

$\left ( l-m\right )^{2}+4lm\\\\=l^2-2lm+m^2+4lm\\\\=l^2+2lm+m^2\\\\=\left ( l+m \right )^{2}$

$\therefore$ বাম পক্ষ =ডান পক্ষ

$(iv). \left ( 2p-q \right )^{2}=\left ( 2p+q\right )^{2}-8pq$

সমাধানঃ

বাম পক্ষ

$\left ( 2p-q \right )^{2}$

ডান পক্ষ

$\left ( 2p+q\right )^{2}-8pq\\\\=4p^2+4pq+q^2-8pq\\\\=4p^2-4pq+q^2\\\\=\left ( 2p-q\right )^{2}$

$\therefore$ বাম পক্ষ =ডান পক্ষ

$(v). \left ( 3m+4n \right )^{2}=\left ( 3m-4n\right )^{2}+48mn$

সমাধানঃ

বাম পক্ষ

$\left ( 3m+4n \right )^{2}$

ডান পক্ষ

$\left ( 3m-4n\right )^{2}+48mn\\\\=9m^2-2.3m.4n+16n^2+48mn\\\\=9m^2-24mn+16n^2+48mn\\\\=9m^2+24mn+16n^2\\\\=\left ( 3m+4n\right )^{2}$

$\therefore$ বাম পক্ষ =ডান পক্ষ

$(vi). \left ( 6x+7y \right )^{2}-84xy=36x^2+49y^2$

সমাধানঃ

বাম পক্ষ

$\left ( 6x+7y \right )^{2}-84xy\\\\=\left ( 6x \right )^2+2,6x.7y+\left ( 7y \right )^{2}-84xy\\\\=36x^2+84xy+49y^2-84xy\\\\=36x^2+49y^2$

ডান পক্ষ

$36x^2+49y^2$

$\therefore$ বাম পক্ষ =ডান পক্ষ

$(vii). \left ( 3a-4b \right )^{2}+24ab=9a^2+16b^2$

সমাধানঃ

বাম পক্ষ

$\left ( 3a-4b \right )^{2}+24ab\\\\=\left ( 3a \right )^2-2.3a.4b+\left ( 4b \right )^2+24ab\\\\=9a^2-24ab+16b^2+24ab\\\\=9a^2+16b^2$

ডান পক্ষ

$9a^2+16b^2$

$\therefore$ বাম পক্ষ =ডান পক্ষ

$(viii). \left ( 2a+\frac{1}{a} \right )^{2}=\left ( 2a-\frac{1}{a} \right )^{2}+8$

সমাধানঃ

বাম পক্ষ

$\left ( 2a+\frac{1}{a} \right )^{2}$

ডান পক্ষ

$\left ( 2a-\frac{1}{a} \right )^{2}+8\\\\=\left ( 2a \right )^{2}-2.2a.\frac{1}{a}+\left ( \frac{1}{a} \right )^{2}+8\\\\=\left ( 2a \right )^{2}-4+\left ( \frac{1}{a} \right )^{2}+8\\\\=\left ( 2a \right )^{2}+4+\left ( \frac{1}{a} \right )^{2}\\\\=\left ( 2a \right )^{2}+2.2a.\frac{1}{a}+\left ( \frac{1}{a} \right )^{2}\\\\=\left ( 2a+\frac{1}{a} \right )^{2}$

$\therefore$ বাম পক্ষ =ডান পক্ষ

3. প্রতিক্ষেত্রে সূত্রের সাহায্যে সমস্যা সমাধান করি

$(i). x-y=3, xy=28$ হলে $x^{2}+y^2$ এর মান কত লিখি ।

সমাধানঃ

$x^{2}+y^2=(x-y)^2+2xy\\\\=3^2+2\times 28$ $;x-y=3, xy=28$ মান বসিয়ে পাই

$=9+56=65$

$(ii). a^2+b^2=52, a-b=2$ হলে, $ab$ এর মান কত লিখি ।

সমাধানঃ

$\left ( a-b \right )^{2}=a^2+b^2-2ab\\\\\Rightarrow 2ab=a^2+b^2-(a-b)^2\\\\\Rightarrow 2ab=52-2^2$ $;a^2+b^2=52, a-b=2$ মান বসিয়ে পাই

$\\\Rightarrow 2ab=52-4=48\\\\\Rightarrow ab=24$

$(iii). l^2+m^2=13$ এবং $l+m=5$ হলে $lm$ এর মান কত লিখি ।

সমাধানঃ

আমরা জানি যে,

$\left ( l+m \right )^2=l^2+m^2+2lm\\\\\Rightarrow 2lm=\left ( l+m \right )^2-(l^2+m^2)$

$\Rightarrow 2lm=5^2-13$ $;l^2+m^2=13$ এবং $l+m=5$ মান বসিয়ে পাই

$\Rightarrow 2lm=25-13\\\\\Rightarrow 2lm=12\\\\\therefore lm=6$

$(iv). a+\frac{1}{a}=4$ হলে $a^{2}+\frac{1}{a^{2}}$ এর মান কত লিখি ।

সমাধানঃ

$a+\frac{1}{a}=4$ উভয়পক্ষকে বর্গকরে পাই,

$\\\Rightarrow \left ( a+\frac{1}{a} \right )^{2}=16\\\\\Rightarrow a^2+2+\frac{1}{a^{2}}=16\\\\\Rightarrow a^2+\frac{1}{a^{2}}=16-2=14\\\\\therefore a^2+\frac{1}{a^{2}}= 14$

$(v). a-\frac{1}{a}=4$ হলে $a^{2}+\frac{1}{a^{2}}$ এর মান কত লিখি ।

সমাধানঃ

$a-\frac{1}{a}=4$ উভয়পক্ষকে বর্গকরে পাই,

$\\\Rightarrow \left ( a-\frac{1}{a} \right )^{2}=16\\\\\Rightarrow a^2-2+\frac{1}{a^{2}}=16\\\\\Rightarrow a^2+\frac{1}{a^{2}}=16+2=18\\\\\therefore a^2+\frac{1}{a^{2}}= 18$

$(vi). 5x+\frac{1}{x}=6$ হলে দেখাই যে $25x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=26$

সমাধানঃ

$\\5x+\frac{1}{x}=6$ উভয়পক্ষকে বর্গকরে পাই,

$\\\Rightarrow \left ( 5x+\frac{1}{x} \right )^{2}=36\\\\\Rightarrow 25x^2+10+\frac{1}{x^{2}}=36\\\\\Rightarrow 25x^2+\frac{1}{x^{2}}=36-10=26\\\\\therefore 25x^2+\frac{1}{x^{2}}=26$

$(vii). 2x+\frac{1}{x}=5$ হলে $4x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$ এর মান কত লিখি ।

সমাধানঃ

$\\2x+\frac{1}{x}=5$ উভয়পক্ষকে বর্গকরে পাই,

$\\\Rightarrow \left (2x+\frac{1}{x} \right )^{2}=25\\\\\Rightarrow 4x^2+4+\frac{1}{x^{2}}=25\\\\\Rightarrow 4x^2+\frac{1}{x^{2}}=25-4=21\\\\\therefore 4x^2+\frac{1}{x^{2}}=21$

$(viii). \frac{x}{y}+\frac{y}{x}=3$ হলে $\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}$ এর মান কত লিখি ।

সমাধানঃ

$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=3$ উভয়পক্ষকে বর্গকরে পাই,

$\\\Rightarrow \left (\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right )^{2}=9\\\\\Rightarrow \frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+2=9\\\\\Rightarrow \frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}=9-2=7\\\\\therefore \frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}=7$

$(ix). x^2+y^2=4xy$ হলে প্রমাণ করি যে $x^4+y^4=14x^{2}y^{2}$

সমাধানঃ

$x^2+y^2=4xy$ উভয়পক্ষকে বর্গকরে পাই,

Class-VII-Factorization-WB:

$\\\Rightarrow \left (x^2+y^2\right )^{2}=(4xy)^2\\\\\Rightarrow x^4+y^4+2x^2y^2 =16x^2y^2\\\\\Rightarrow x^4+y^4= 16x^2y^2-2x^2y^2\\\\\therefore x^4+y^4=14x^2y^2$

(প্রমাণিত )

$(x). 2a+\frac{1}{3a}=6$ হলে $4a^{2}+\frac{1}{9a^{2}}$ এর মান কত লিখি ।

সমাধানঃ

$2a+\frac{1}{3a}=6$ উভয়পক্ষকে বর্গকরে পাই,

$\\\Rightarrow \left (2a+\frac{1}{3a}\right )^{2}=(6)^2\\\\\Rightarrow 4a^4+2.2a.\frac{1}{3a}+\frac{1}{9a^2} =36\\\\\Rightarrow 4a^4+\frac{1}{9a^2}= 36-\frac{4}{3}\\\\\therefore 4a^4+\frac{1}{9a^2}=\frac{104}{3} = 34 \frac{2}{3}$

$(xi). 5a+\frac{1}{7a}=5$ হলে $25a^{2}+\frac{1}{49a^{2}}$ এর মান কত লিখি ।

সমাধানঃ

$5a+\frac{1}{7a}=5$ উভয়পক্ষকে বর্গকরে পাই,

$\\\Rightarrow \left (5a+\frac{1}{7a}\right )^{2}=(5)^2\\\\\Rightarrow 25a^2+2.5a.\frac{1}{7a}+\frac{1}{49a^2} =25\\\\\Rightarrow 25a^2+\frac{1}{49a^2}= 25-\frac{10}{7}=\frac{165}{7}\\\\\therefore 25a^2+\frac{1}{49a^2} = 23 \frac{4}{7}$

$(xii). 2x-\frac{1}{x}=4$ হলে $x^{2}+\frac{1}{4x^{2}}$ এর মান কত লিখি ।

সমাধানঃ

$\\2x-\frac{1}{x}=4\\\\\Rightarrow 2\left ( x-\frac{1}{2x} \right )=4$

$\\\Rightarrow \left ( x-\frac{1}{2x} \right )=2......(A)$ উভয়পক্ষকে বর্গকরে পাই,

$\\\Rightarrow \left (x-\frac{1}{2x}\right )^{2}=(2)^2\\\\\Rightarrow x^2-2.x.\frac{1}{2x}+\frac{1}{4x^2} =4\\\\\Rightarrow 4x^2+\frac{1}{x^2}= 4+1=5\\\\\therefore x^2+\frac{1}{4x^2} = 5$

$(xiii). m+\frac{1}{m}=-p$ হলে দেখাই যে $m^{2}+\frac{1}{m^{2}}=p^{2}-2$

সমাধানঃ

$m+\frac{1}{m}=-p$ উভয়পক্ষকে বর্গকরে পাই,

$\\\Rightarrow \left (m+\frac{1}{m}\right )^{2}=(-p)^2\\\\\Rightarrow m^2+2.m.\frac{1}{m}+\frac{1}{m^2} =p^2\\\\\Rightarrow m^2+\frac{1}{m^2}= p^2-2\\\\\therefore m^2+\frac{1}{m^2} = p^2-2$

$(xiv). a^2+b^2=5ab$ হলে দেখাই যে $\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}=23$

সমাধানঃ

$\\a^2+b^2=5ab\\\\\Rightarrow \frac{a^2+b^2}{ab}=5\\\\\Rightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{a}=5.....(B)$

$(B)$ -এর উভয়পক্ষকে বর্গকরে পাই,

$\\\Rightarrow \left (\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right )^{2}=(5)^2\\\\\Rightarrow \frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+2.\frac{a}{b}.\frac{b}{a} =5^2\\\\\Rightarrow \frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+2= 25\\\\\Rightarrow \frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}=25-2=23\\\\\therefore \frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}=23$

$(xv). 6x^2-1=4x$ হলে দেখাই যে $36x^2+\frac{1}{x^{2}}=28$

সমাধানঃ

$6x^2-1=4x\\\\\Rightarrow \frac{6x^2-1}{x}=4\\\\\Rightarrow 6x-\frac{1}{x}=4$

$6x-\frac{1}{x}=4.....(C)$ -এর উভয়পক্ষকে বর্গকরে পাই

$\\\Rightarrow \left (6x-\frac{1}{x}\right )^{2}=(4)^2\\\\\Rightarrow 36x^2-2.6x. \frac{1}{x}+\frac{1}{x^2} =16\\\\\Rightarrow 36x^2+\frac{1}{x^2}-12= 16\\\\\Rightarrow 16x^2+\frac{1}{16x^2}= 16+12=28\\\\\therefore 36x^2+\frac{1}{x^2}=28$

$(xvi). m+\frac{1}{m}=p-2$ হলে দেখাই যে $m^{2}+\frac{1}{m^{2}}=p^{2}-4p+2$

সমাধানঃ

$m+\frac{1}{m}=p-2$ উভয়পক্ষকে বর্গকরে পাই,

$\\\Rightarrow \left (m+\frac{1}{m}\right )^{2}=(p-2)^2\\\\\Rightarrow m^2+2.m.\frac{1}{m}+\frac{1}{m^2} =p^2+4-2.p\\\\\Rightarrow m^2+\frac{1}{m^2}= p^2+4-2p-2\\\\\therefore m^2+\frac{1}{m^2} = p^2-2p+2$

$(xvii). m-\frac{1}{m-2}=6$ হলে $(m-2)^{2}+\frac{1}{(m-2)^{2}}$ এর মান কত লিখি ।

সমাধানঃ

$m-\frac{1}{m-2}=6\\\\\Rightarrow (m-2)-\frac{1}{(m-2)}=6-2=4$

$(m-2)-\frac{1}{(m-2)}=4.....(D)$

$(D)$ -এর উভয়পক্ষকে বর্গকরে পাই

$\\\Rightarrow \left \{(m-2)-\frac{1}{(m-2)} \right \}^{2}=(4)^2\\\\\Rightarrow (m-2)^{2}+\frac{1}{(m-2)^{2}}-2.(m-2).\frac{1}{(m-2)}=16\\\\\Rightarrow (m-2)^{2}+\frac{1}{(m-2)^{2}}-2=16\\\\\Rightarrow (m-2)^{2}+\frac{1}{(m-2)^{2}}=18\\\\\therefore (m-2)^{2}+\frac{1}{(m-2)^{2}}=18$

Share this Post

এই ব্লগ সাইটটির আরও উন্নতির জন্যে সকলের কাছে থেকে যেকোনো ধরনের পরামর্শ সাদরে গ্রহন করা হবে।

পরের দাগের অঙ্কগুলি অল্প দিনের মধ্যে এই পোষ্টে দেওয়া হবে।

Spread/ share this post

পরের দাগের অঙ্কগুলি অল্প দিনের মধ্যে এই পোষ্টে দেওয়া হবে।

Leave a Comment Cancel reply