competitive exams - LET US LEARN MATHEMATICS

1. যদি $2x+\frac{2}{x}=4$ হয়, তাহলে $x^{100}+\frac{1}{x^{100}}$ এর মান কত

a). $2$

b). $0$

c). $1$

d). $-2$

উত্তরঃ

$2x+\frac{2}{x}=4\\\\\Rightarrow 2\left ( x+\frac{1}{x} \right )=4\\\\\Rightarrow \left ( x+\frac{1}{x} \right )=2$

$\because \left ( x+\frac{1}{x} \right )=2\\\\\Rightarrow \frac{x^{2}+1}{x}=2\\\\\Rightarrow x^{2}+1=2x\\\\\Rightarrow x^{2}-2x+1=0\\\\\left ( x-1 \right )^{2}=0\\\\\therefore x=1$

$\therefore x^{100}+\frac{1}{x^{100}}=\left ( 1 \right )^{100}+\frac{1}{\left ( 1 \right )^{100}}=2$

$\therefore$ সঠিক উত্তর a). $2$

2. $a^{2}+b^{2}+\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}=4$ হলে $a^{2}+b^{2}$ এর মান নির্ণয় করো

a). $2$

b). $1\frac{1}{2}$

c). $1$

d). $2\frac{1}{2}$

উত্তরঃ

$a^{2}+b^{2}+\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}=4\\\\\Rightarrow a^{2}-2+\frac{1}{a^{2}}+b^{2}-2+\frac{1}{b^{2}}=0\\\\\Rightarrow \left ( a-\frac{1}{a} \right )^{2}+\left ( b-\frac{1}{b} \right )^{2}=0$

দুটি বর্গ রাশির যোগফল শূন্য হলে তারা প্রত্যেকে আলাদা আলাদা ভাবে শূন্য হবে,

$\\\left ( a-\frac{1}{a} \right )^{2}=0\\\\\Rightarrow \left ( a-\frac{1}{a} \right )=0\\\\\therefore a^{2}=1$

এবং

$\\\left ( ba-\frac{1}{b} \right )^{2}=0\\\\\Rightarrow \left ( b-\frac{1}{b} \right )=0\\\\\therefore b^{2}=1$

$\therefore a^{2}+ b^{2}=2$

$\therefore$ সঠিক উত্তর : a). $2$

3. 96, 320, 800, 1600, … পরের সংখ্যাটি নির্ণয় করো

a). $640$

b). $2666.7$

c). $2500$

d). $2400$

উত্তরঃ

$\\96, 320, 800, 1600, ... \\\\\frac{320}{96}=\frac{10}{3}, \frac{800}{320}=\frac{10}{4},\frac{1600}{800}=\frac{10}{5},$

ধরি, পরের সংখ্যাটি $x$

$\frac{x}{1600}=\frac{10}{6}\\\\\Rightarrow x=1600\times \frac{10}{6}=2666.7$

সঠিক উত্তরঃ b). $2666.7$

4. ছকের মধ্যে না দেওয়া সংখ্যাটি নির্ণয় করো

4	12	11	5
6	7	10	3
8	9	10	7
7	5	?	4

a). $12$

b). $14$

c). $13$

d). $8$

উত্তরঃ

4	12	11	5
6	7	10	3
8	9	10	7
7	5	?	4

4+12+7+6 = 29

11+5+10+3 = 29

8+9+7+5 = 29

$10 + 7 + 4 + ?=29\\\\\Rightarrow 21+?=29\\\\\therefore ?=29-21=8$

সঠিক উত্তরঃ d). $8$

5. যদি $67y15$ সংখ্যাটি $9$ বিভাজ্য হয় তাহলে $y$ এর কতগুলি মান থাকতে পারে

a). $1$

b). $4$

c). $3$

d). $8$

উত্তরঃ

$67y15$ সংখ্যাটি $9$ বিভাজ্য হলে,

$6+7+y+1+5=19+y$ এটি $9$ এর গুণিতক হবে যদি $y$ এর একমাত্র মান $8$ হয়।

$\therefore$ $y$ এর একটি মান থাকবে

সঠিক উত্তর : a). $1$

উপরের চিত্রটি চারটি ঘনক দিয়ে গঠিত, দেখা যাচ্ছে এমন তলের সংখ্যা নির্ণয় করো

a). $24$

b). $20$

c). $18$

d). $16$

উত্তরঃ

15+ 3 (নিচের ঘনকের তিনটি দিকে) = 18
সঠিক উত্তরঃ c). $18$

7. 332, 370, 410, ? , 496

a). $564$

b). $452$

c). $326$

d). $210$

উত্তরঃ

$\\332, 370, 410, ? , 496 \\\\332=18^{2}+8, 370=19^{2}+9, 410=20^{2}+10,\\\\ ?=21^{2}+11=452, 496=22^{2}+12$

সঠিক উত্তরঃ b). $452$

8. $\left ( 1-\frac{1}{3} \right )\left ( 1-\frac{1}{4} \right )\left ( 1-\frac{1}{5} \right )...\left ( 1-\frac{1}{25} \right )$ এর মান নির্ণয় করো

a). $\frac{1}{25}$

b). $\frac{2}{25}$

c). $1 \frac{19}{25}$

d). $\frac{1}{325}$

উত্তরঃ

$\left ( 1-\frac{1}{3} \right )\left ( 1-\frac{1}{4} \right )\left ( 1-\frac{1}{5} \right )...\left ( 1-\frac{1}{25} \right )\\\\=\frac{2}{3}\times \frac{3}{4}\times \frac{4}{5}\times ...\times \frac{24}{25}=\frac{2}{25}$

সঠিক উত্তরঃ b). $\frac{2}{25}$

9. $\left ( -3 \right )^{\left ( -2 \right )^{\left ( -2 \right )^{\left ( -\frac{1 }{4}\right )}}}$ এর মান নির্ণয় করো।

a). $\frac{1}{2}$

b). $\frac{1}{3}$

c). $1 \frac{19}{5}$

d). $\frac{1}{32}$

Interesting math solutions

উত্তরঃ

$\left ( -3 \right )^{\left ( -2 \right )^{\left ( -2 \right )^{\left ( -\frac{1 }{4}\right )}}}\\\\=\left ( -\frac{1}{3} \right )^{\left ( 2 \right )^{\left ( -2 \right )^{\left ( -\frac{1}{4} \right )}}}\\\\=\left ( \frac{1}{9} \right )^{\left ( -2 \right )^{\left ( -\frac{1}{4} \right )}}\\\\=\left ( 9 \right )^{\left ( 2 \right )^{\left ( -\frac{1}{4} \right )}}=\left ( 81 \right )^{\left ( -\frac{1}{4} \right )}\\\\=\left ( \frac{1}{81} \right )^{\frac{1}{4}}=\frac{1}{81^{\frac{1}{4}}}=\frac{1}{3^{4\times \frac{1}{4}}}=\frac{1}{3}$