Interesting math solutions - LET US LEARN MATHEMATICS

1. $(x-1)(x-2)(x-3)...(x-100)$ বহুপদী সংখ্যামালার $x^{99}$ এর সহগ কত নির্ণয় করো

a). $5050$

b). $-5050$

c). $4995$

d). $4995\frac{5}{6}$

উত্তরঃ

$(x-1)(x-2)(x-3)...(x-100)\\\\=x^{100}-\left ( 1+2+3+...+100 \right )x^{99}+....$

$\therefore$

$x^{99}$ এর সহগ

$\\-\left ( 1+2+3+...+100 \right )=-\frac{100\times \left ( 100+1 \right )}{2}\\\\=-50\times 51=-5050$

$\therefore$ b). $-5050$ সঠিক

2. $999\frac{1}{2}+999\frac{1}{6}+999\frac{1}{12}+999\frac{1}{20}+999\frac{1}{30}$ এর মান নির্ণয় করো

a). $999\frac{1}{6}$

b). $999\frac{5}{6}$

c). $4995\frac{1}{6}$

d). $4995\frac{5}{6}$

উত্তরঃ

$999\frac{1}{2}+999\frac{1}{6}+999\frac{1}{12}+999\frac{1}{20}+999\frac{1}{30}\\\\=999+\frac{1}{2}+999+\frac{1}{6}+999+\frac{1}{12}+999+\frac{1}{20}+999+\frac{1}{30}\\\\=\left ( 999\times 5 \right )+\left ( \frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30} \right )\\\\=4995+\frac{30+10+5+3+2}{60}\\\\=4995+\frac{50}{60}=4995+\frac{5}{6}=4995\frac{5}{6}$

সঠিক উত্তরঃ d). $4995\frac{5}{6}$

3. $y$ এর $x$ % + $x$ এর $(?)$ % $= (x+y)$ এর $x$ %

a). $x+y$

b). $x$

c). $y$

d). কোনোটি নয়

উত্তরঃ

$y$ এর $x$ % + $x$ এর $(?)$ % $= (x+y)$ এর $x$ %
$\Rightarrow\frac{x}{100}\times y+\frac{?}{100}\times x=\frac{x}{100}\times \left ( x+y \right )\\\\\Rightarrow \frac{xy}{100}+\frac{?\times x}{100}=\frac{x\left ( x+y \right )}{100}\\\\\Rightarrow xy+?\times x=x\left ( x+y \right )\\\\\Rightarrow xy+?\times x=x^{2}+xy\\\\\Rightarrow ? \times x=x^{2}\\\\\Rightarrow ?=x$
$\therefore ?=x$

সঠিক উত্তরঃ b). $x$

4. $\frac{1}{6}$ এর $92$ % এর $1\frac{1}{23}$ এর $650= 85 +?$

a). 18

b). 21

c). 19

d). 28

উত্তরঃ

$\frac{1}{6}$ এর $92$ % এর $1\frac{1}{23}$ এর $650= 85 +?$

$\\\\\Rightarrow \frac{1}{6}\times \frac{92}{100}\times \frac{24}{23}\times 650=85+?\\\\\Rightarrow 104=85+?\\\\\Rightarrow ?=104-85=19$

$\therefore$ c). 19 সঠিক

5. $a+\frac{1}{a}=3$ হলে $(a^{5}+\frac{1}{a^{5}})$ এর মান কত ?

উত্তরঃ

$a+\frac{1}{a}=3.............(i)$
(i) নং এর উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই, $\left ( a+\frac{1}{a} \right )^{2}=(3)^{2}\\\\\Rightarrow a^{2}+\frac{1}{a^{2}}+2=9\\\\\Rightarrow a^{2}+\frac{1}{a^{2}}=7$
$\therefore a^{2}+\frac{1}{a^{2}}=7...................(ii)$
(i) নং এর উভয়পক্ষকে ঘন করে পাই,
$\left ( a+\frac{1}{a} \right )^{3}=(3)^{3}\\\\\Rightarrow a^{3}+\frac{1}{a^{3}}+3.a.\frac{1}{a}(a+\frac{1}{a})=27\\\\\Rightarrow a^{3}+\frac{1}{a^{3}}+3\times 3=27\\\\\Rightarrow a^{3}+\frac{1}{a^{3}}=27-9=18$
$\therefore a^{3}+\frac{1}{a^{3}}=18...................(iii)$
$(ii)$ নং ও $(iii)$ নং কে গুন করে পাই,
$\left ( a^{3}+\frac{1}{a^{3}} \right )\times \left ( a^{2}+\frac{1}{a^{2}} \right )=7\times 18=126\\\\\Rightarrow a^{5}+a+\frac{1}{a}+\frac{1}{a^{5}}=126\\\\\Rightarrow a^{5}+\frac{1}{a^{5}}+\left ( a+\frac{1}{a} \right )=126\\\\\Rightarrow a^{5}+\frac{1}{a^{5}}=126-3=123$
$\therefore a^{5}+\frac{1}{a^{5}}=123$

6. $2x+\frac{1}{3x}=4$ হলে $27x^{3}+\frac{1}{8x^{3}}=$ কত হবে ?

উত্তরঃ

$2x+\frac{1}{3x}=4 ..............(i)$
$(i)$ এর উভয়পক্ষকে $\frac{3}{2}$ দিয়ে গুন করে পাই,
$\frac{3}{2}\times \left ( 2x+\frac{1}{3x} \right )=\frac{3}{2}\times 4\\\\\Rightarrow 3x+\frac{1}{2x}=6$ $\therefore 3x+\frac{1}{2x}=6...............(ii)$
$(ii)$ নং এর উভয়পক্ষকে ঘন করে পাই,
$\left ( 3x+\frac{1}{2x} \right )^{3}=(6)^{3}\\\\\Rightarrow 27x^{3}+\frac{1}{8x^{3}}+3.3x.\frac{1}{2x}(3x+\frac{1}{2x})=216\\\\\Rightarrow 27x^{3}+\frac{1}{8x^{3}}+3.3.\frac{1}{2}.6=216\\\\\Rightarrow 27x^{3}+\frac{1}{8x^{3}}+27=216\\\\\Rightarrow 27x^{3}+\frac{1}{8x^{3}}=216-27=189$
$\therefore 27x^{3}+\frac{1}{8x^{3}}=189$

7. $x-\frac{1}{9x}=1$ হলে $(27x^{3}-\frac{1}{27x^{3}})$ এর মান কত হবে?

উত্তরঃ

$x-\frac{1}{9x}=1...........(i)$
(i) নম্বরের উভয়পক্ষকে 3 দিন গুন করে পাই ,
$3x-\frac{1}{3x}=3...........(ii)$
(iii) নং এর উভয়পক্ষকে ঘন করে পাই,
$3x-\frac{1}{3x}=3\\\\\Rightarrow \left (3x-\frac{1}{3x} \right )^{3}=\left ( 3 \right )^{3}\\\\\Rightarrow 27x^{3}-\frac{1}{27x^{3}}-3.3x.\frac{1}{3x}\left ( 3x-\frac{1}{3x} \right )=27\\\\\Rightarrow 27x^{3}-\frac{1}{27x^{3}}-3.3=27\\\\\Rightarrow 27x^{3}-\frac{1}{27x^{3}}=27+9=36$
$\therefore 27x^{3}-\frac{1}{27x^{3}}=36$

8. প্রথম 100 যুগ্ম সংখ্যার যোগফল। …….

a). 100 দিয়ে বিভাজ্য কিন্তু 101 দিয়ে বিভাজ্য নয়

b). 101 দিয়ে বিভাজ্য কিন্তু 100 বিভাজ্য নয়

c).100 এবং 101 দিয়ে বিভাজ্য

d). 100 বা 101 কোনটি দিয়ে বিভাজ্য নয়

উত্তরঃ

প্রথম 100 যুগ্ম সংখ্যাগুলি হলো : 2, 4, 6, 8,…, 200.

প্রথম 100 যুগ্ম সংখ্যার যোগফল =

$\\2+4+6+8+....+200\\\\=2(1+2+3+...+100)\\\\=2\times \frac{100(100+1)}{2}\\\\=100\times 101$

$\because$ n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল :

$\because 1+2+3+......+n=\frac{n(n+1)}{2}$

$\therefore$ প্রথম 100 যুগ্ম সংখ্যার যোগফল = 100 × 101

c).100 এবং 101 দিয়ে বিভাজ্য (সঠিক )

9. $\bigstar$ এর সবচেয়ে ছোটো কোন মানের জন্যে $5\bigstar3457, 11$ দিয়ে বিভাজ্য হবে।

কোনো সংখ্যা 11 দিয়ে বিভাজ্য কিনা চেক করার নিয়ম হলো :
সংখ্যাটির অযুগ্ম স্থানের অঙ্কের যোগফলের থেকে যুগ্ম স্থানের অঙ্কগুলির যোগফল বিয়োগ
করলে যদি বিয়োগফল 0 অথবা 11 এর গুণিতক হয়, তাহলে সংখ্যাটি 11 দিয়ে বিভাজ্য।
$5\bigstar3457$ সংখ্যাটির অযুগ্ম স্থানের অঙ্কগুলির যোগফল $=5 +3+5=13$
এবং সংখ্যাটির যুগ্ম স্থানের অঙ্কগুলির যোগফল $=\bigstar +4+7$
সবথেকে ছোটো যে মানের জন্যে সংখ্যাটি 11 দিয়ে বিভাজ্য তাহলো
$\bigstar +4+7=5+3+5=13\\\\\Rightarrow \bigstar =13-11=2$