Class-x / বহু বিকল্পভিত্তিক প্রশ্নঃ পরিচিতি ও অনুশীলনী/ গণিত/ দশম শ্রেণী

Class-x

বহু বিকল্পভিত্তিক প্রশ্নঃ পরিচিতি ও অনুশীলনী

গণিত

দশম শ্রেণী

সঠিক উত্তর নির্বাচন করোঃ

$x^3+4x^2+4x-3$ কে $x-1$ দ্বারা ভাগ করলে, ভাগশেষ কত হবে ?

$5$ B. $-5$ C. $6$ D. $-6$

সমাধানঃ

ধরি, $f(x)=x^3+4x^2+4x-3$ , ভাগশেষ উপপাদ্য থেকে বলা যায় $f(x)$ কে $x-1$

দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ হবে $f(1)$

$\therefore f(1)= (1)^3+4 \times (1)^2+4 \times 1-3=6$

$x^2+2x-8$ রাশিটির শূন্য কি কি হবে?

$4, 2$ B. $-4, -2$ C. $-4, 2$ D. $4, -2$

সমাধানঃ

$x^2+2x-8$ এই বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য নির্ণয়ের জন্য $x$

এর কোন মানের জন্য $x^2+2x-8$ এর মান $0$ হবে সেই মান গুলি হবে $x^2+2x-8$ এর শূন্য

$x^2+2x-8=0\\\\\Rightarrow x^2+4x-2x-8=0\\\\\Rightarrow x(x+4)-2(x+4)=0\\\\\Rightarrow (x+4)(x-2)=0\\\\ \therefore x=-4 , x=2$

$2x+3y=0$ সমীকরণের সম্ভাব্য সমাধান হবে

$x=1, y=1$ B. $x= -3, y=2$ C. $x=3, y=0$ D. $x=0, y=2$

সমাধানঃ

$2x+3y=0\\\\\therefore 2.(-3)+3.(2)=-6+6=0$

1296 কে কিভাবে লেখা যায় ?

$2^43^3$ B. $2^34^4$ C. $2^43^4$ D. $2^33^3$

সমাধানঃ

$1296=2\times2\times2\times2\times3\times3\times3\times3= 2^43^4$

যদি 0, -1, 1 একটি বহুপদী রাশির তিনটি শূন্য হয় তাহলে বহুপদী রাশিটি হইবে

$x^2-x$ B. $x^3-x$ C. $x^3-x^2$ D. $x^3+x$

সমাধানঃ

0, -1, 1 একটি বহুপদী রাশির তিনটি শূন্য হয় তাহলে বহুপদী রাশিটি হইবে

$(x-0)(x+1)(x-1)=x(x^2-1)=x^3-x$

$x^2-4x+1=0$ দ্বিঘাত সমীকরণের প্রকৃতি কি হবে ?

বাস্তব B. বাস্তব ও অভিন্ন C. অবাস্তব D. বাস্তব ও সমান

সমাধানঃ

$x^2-4x+1=0$ এই দ্বিঘাত সমীকরণটিকে $ax^2+bx+c=0$ এর সঙ্গে তুলনা করে পাই

$a=1, b=-4, c=1$

$\therefore$

নিরূপক টি হবে $b^2-4ac= (-4)^2-4.1.1=16-4=12 > 0$

$\therefore$ দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ দুটি বাস্তব ও অভিন্ন

$\frac{1}{x}-\frac{1}{x(x-3)}=0$ সমীকরণের সমাধান কি হবে ?

$1, -3$ B. $0$ C. $4$ D. $4, 4$

সমাধানঃ

$\frac{1}{x}-\frac{1}{x(x-3)}=0\\\\\Rightarrow \frac{x-3-1}{x(x-3)}=0\\\\\Rightarrow \frac{x-4}{x(x-3)}=0\\\\\Rightarrow x-4=0 \\\\\Rightarrow x=4$

যদি $3x^2+5x+2=0$ সমীকরণের দুটি বীজ $\alpha$ ও $\beta$ হয়, তাহলে $\frac{1}{\alpha}-\frac{1}{\beta}$ এর মান কত ?

$\pm \frac{1}{2}$ B. $\pm \frac{1}{3}$ C. $\frac{1}{4}$ D. $4$

সমাধানঃ

$3x^2+5x+2=0 \\\\\Rightarrow 3x^2+3x+2x+2=0 \\\\\Rightarrow 3x(x+1)+2(x+1)=0 \\\\\Rightarrow (3x+2)(x+1)=0 \\\\\therefore (3x+2)=0 \\\\\Rightarrow x= \frac{-2}{3}, x+1=0, \\\\\Rightarrow x= -1$

$\therefore \alpha =\frac{-2}{3}, \beta = -1$

$\frac{1}{\alpha}-\frac{1}{\beta}= -\frac{3}{2}+1= \frac{-3+2}{2}= \frac{-1}{2}$

এবং $\alpha = -1 \beta = \frac{-2}{3}$

$\frac{1}{\alpha}-\frac{1}{\beta}= -1+\frac{3}{2}= \frac{-2+3}{2}= \frac{1}{2}$

$ax+b=0$ (a এবং b ধ্রুবক এবং $a \neq 0, b \neq0$ ) সমীকরণের লেখচিত্র হইবে ?

x- অক্ষের সমান্তরাল B. y- অক্ষের সমান্তরাল C. মূল বিন্দুগামী D. মূল বিন্দুগামী নয়

সমাধানঃ

$ax+b=0\Rightarrow x= \frac{-b}{a}=$ ধ্রুবক

$\therefore x=$ ধ্রুবক, y- অক্ষের সমান্তরাল

যদি $(x, -7)$ এবং $(3, -3)$ এর মধ্যকার দূরত্ব 5 একক হয়, তাহলে x- এর মান হবে

0 অথবা 6 B. 2 অথবা 3 C. -6 অথবা 0 D. 5 অথবা 1

সমাধানঃ

$(x, -7)$ এবং $(3, -3)$ এর মধ্যকার দূরত্ব

= $\sqrt{(x-3)^2+(-7+3)^2}=5 \\\\\Rightarrow (x-3)^2+(-7+3)^2=5^2\\\\\Rightarrow (x-3)^2+16=25 \\\\\Rightarrow (x-3)^2=25-16=9 \\\\\Rightarrow x-3= \pm 3\\\\\Rightarrow x= 3\pm 3\\\\\therefore x= 6, 0$

$r$ এর কোন মানের জন্যে $rx-3y-1=0$ এবং $(4-r)x-y+1=0$ সমীকরণ দুটির কোনও সমাধান থাকবে না ?

3 B. 4 C. 2 D. -2

MCQ Test Questions On Factorization ICSE Class 10

সমাধানঃ

$a_1x+b_1y+c_1=0$ এবং $a_2x+b_2y+c_2=0$ সমীকরণ দুটির কোনও সমাধান থাকবে না যদি

$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq \frac{c_1}{c_2}$

এখানে, $rx-3y-1=0$ এবং $(4-r)x-y+1=0$

$\frac{r}{4-r}=\frac{-3}{-1}\neq \frac{-1}{1}$

$\therefore$ এই সমীকরণ দুটির কোনও সাধারণ সমাধান থাকবে না এবং

$\frac{r}{4-r}=\frac{-3}{-1}\\\\\Rightarrow r= 3(4-r)\\\\\Rightarrow r=12-3r\\\\\Rightarrow 4r=12\\\\\therefore r=3$

একটি পোস্টের ছায়ার দৈর্ঘ্য তাঁর উচ্চতার $\sqrt 3$ গুন হলে । তাহলে সূর্যের উন্নতি কোন

$60^o$ B. $30^o$ C. $45^o$ D. কোনটি নয়

সমাধানঃ

$tan \theta= \frac{x}{\sqrt 3 x}=\frac{1}{\sqrt3}=tan 30^o\\\\\Rightarrow \theta = 30^o$

2, 3, 5, 6, 2, 4, 2, 8, 9, 4, 5, 4, 7, 4, 4 মান গুলির সংখ্যা গুরু কত ?

2 B. 3 C. 4 D. 8

সমাধানঃ

তথ্য (মান) পরিসংখ্যান

2 $\rightarrow$ 3

3 $\rightarrow$ 1

4 $\rightarrow$ 5

5 $\rightarrow$ 2

6 $\rightarrow$ 1

7 $\rightarrow$ 1

8 $\rightarrow$ 1

9 $\rightarrow$ 1

13 $\rightarrow$ 1

একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাস 4.5 সেমি এবং উচ্চতা 10 সেমি । চোঙটি গলিয়ে 1.5 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাস বিশিষ্ট এবং এবং 0.2 সেমি পুরু ধাতব মুদ্রা কতগুলি তৈরি করা যাবে ?

430 টি B. 440 টি C. 450 টি D. 460 টি

সমাধানঃ

নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাস 4.5 সেমি এবং উচ্চতা 10 সেমি

ব্যাসার্ধ = $\frac{4.5}{2}=2.25$

আয়তন = $\pi \times (2.25)^2 \times 10$ ঘন সেমি

ধাতব মুদ্রার ব্যাস = 1.5 সেমি

ধাতব মুদ্রার ব্যাসার্ধ= $\frac{1.5}{2}$ সেমি, উচ্চতা = 0.2 সেমি

ধাতব মুদ্রার আয়তন = $\pi \times (\frac{1.5}{2})^2 \times 0.2$ ঘন সেমি

ধরি, $x$ টি পুরু ধাতব মুদ্রা তৈরি করা যাবে

$\therefore x \times \pi \times (\frac{1.5}{2})^2 \times 0.2= \pi \times (2.25)^2 \times 10\\\\\Rightarrow x= \frac{\pi \times (2.25)^2 \times 10}{\pi \times (\frac{1.5}{2})^2 \times 0.2}=450$

বহিঃস্থ P বিন্দু থেকে O কেন্দ্রীয় বৃত্তের উপর PR এবং PS দুটি স্পর্শক । যদি PR= 8 সেমি এবং $\angle RPS=60^o$ তাহলে RS এর দৈর্ঘ্য

9 সেমি B. 8 সেমি C. 10 সেমি D. 4 সেমি

সমাধানঃ

যেহেতু $PR$ এবং $PS$ বহিঃস্থ $P$ বিন্দু থেকে O কেন্দ্রীয় বৃত্তের দুটি স্পর্শক

$\therefore PR=PS$

এবং $\angle RPS=60^o$

$\triangle PRS$ একটি সমদ্বিবাহু বাহু ত্রিভুজ

$\angle PRS= \angle PSR\\\\\therefore \angle PRS+\angle PSR+60^o=180^o\\\\\Rightarrow 2 \angle PRS=180^o-60^o=120^o\\\\\Rightarrow \angle PRS= 60^o\\\\\therefore \angle PRS= \angle PSR=60^o$

$\\\\\therefore \triangle PRS$ একটি সমবাহু ত্রিভুজ ।

$\therefore RS = 8$ সেমি

$px+qy=r (r \neq 0)$ সমীকরণের y- অক্ষের উপরের ছেদ বিন্দু

$(\frac{r}{p}, 0)$ B. $(\frac{r}{q}, 0)$ C. $(0, 0)$ D. $(0, \frac{r}{q})$

সমাধানঃ

$px+qy=r \\\\\Rightarrow \frac{px+qy}{r}=1\\\\\Rightarrow \frac{x}{\frac{r}{p}} +\frac{y}{\frac{r}{q}}=1$

$\therefore y$ অক্ষের উপরের ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্ক = $(0, \frac{r}{q})$

একটি বৃত্তের ব্যাসের প্রান্তিক বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শক দুটি

লম্ব B. সমান্তরাল C. ছেদ করবে D. কোনটি নয়

সমাধানঃ

$DE\parallel FG$

30, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40 তথ্যে 35 নয়া থাকলে মধ্যমা বৃদ্ধি পায়

2 B. 1.5 C. 1 D. 0.5

MCQ Test Question On Quadratic Equation ICSE Class 10

সমাধানঃ

$n=8$ (যুগ্ম)

30, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40 এর মধ্যমা = $\frac{1}{2}$ $\left \{ \right.$ $(\frac{8}{2})$ তম পদ $+ (\frac{8}{2}+1)$ তম পদ $\left. \right \}$ = $\frac{36+37}{2}= 36.5$ এবং

তথ্যে 35 না থাকলে $n=7$ (অযুগ্ম)

মধ্যমা = $(\frac{7+1}{2})$ তম পদ = $37$

$\therefore$ 30, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40 তথ্যে 35 না থাকলে মধ্যমা বৃদ্ধি পায় $0.5$

সমান দৈর্ঘ্যের ব্যাস এবং সমান উচ্চতা বিশিষ্ট নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙ, নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু এবং নিরেট গোলকের আয়তনের অনুপাত

$1:3:4$ B. $4:3:1$ C. $3:1:4$ D. $1:4:3$

সমাধানঃ

ধরি, সমান ব্যাস এর দৈর্ঘ্য = $r$ একক

ব্যাসার্ধ = $\frac{r}{2}$ একক

এবং সমান উচ্চতা = $h$ একক

যেহেতু নিরেট গোলকের উচ্চতা $(h)$ = নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধ = $\frac{r}{2}$ একক

লম্ব বৃত্তাকার চোঙের আয়তন= $\pi (\frac{r}{2})^2 h$ ঘন একক = $\pi (\frac{r}{2})^3$ ঘন একক

নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন = $\frac{1}{3} \pi (\frac{r}{2})^2 h$ ঘন একক = $\frac{1}{3} \pi (\frac{r}{2})^3$ ঘন একক

এবং নিরেট গোলকের আয়তন = $\frac{4}{3} \pi (\frac{r}{2})^2 h$ ঘন একক = $\frac{4}{3} \pi (\frac{r}{2})^3$ ঘন একক

$\therefore$ সমান দৈর্ঘ্যের ব্যাস এবং সমান উচ্চতা বিশিষ্ট নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙ, নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু এবং নিরেট গোলকের আয়তনের অনুপাত

$\pi (\frac{r}{2})^3 :\frac{1}{3} \pi (\frac{r}{2})^3:\frac{4}{3} \pi (\frac{r}{2})^3\\\\\Rightarrow 1: \frac{1}{3}: \frac{4}{3}=3:1:4$

যদি একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাসার্ধ $r$ একক এবং তির্যক উচ্চতা $2l$ একক হয়, তাহলে সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হবে

$\pi r(l+r)$ বর্গ একক B. $3 \pi r l$ বর্গ একক C. $2 \pi r l$ বর্গ একক D. $\pi r(\frac{r}{4}+1)$ বর্গ একক

সমাধানঃ

লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাসার্ধ $r$ একক এবং তির্যক উচ্চতা $2l$ একক হয়,

সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = $\pi r. 2l +\pi r^2=\pi r(2l+r)$

$2x+y=4$ এবং $3x-2y=-1$ সমীকরণ দুটির সমাধান কি হবে ?

$x=1, y= 1$ B. $x= 2 y= 1$ C. $x=1, y= 2$ D. কোনটি নয়

সমাধানঃ

$2x+y=4...... (i)$ এবং $3x-2y=-1...... (ii)$

$(i)$ নাম্বার কে $2$ দিয়ে গুন করে $(ii)$ নাম্বারে সঙ্গে যোগ করে পাই

$7x=7\\\\\Rightarrow x= 1$

$x=1$ এর মান $(i)$ এ বসিয়ে পাই

$2.1+y=4\\\\\Rightarrow y=4-2=2$

$\therefore x=1, y=2$

$(4,3)$ এবং $(5,-4)$ বিন্দুগামী সংযোজক রেখাকে $X$ অক্ষ কি অনুপাতে বিভক্ত করে ?

$2:1$ B. $3:4$ C. $1:2$ D. $3:1$

সমাধানঃ

ধরি, $(4,3)$ এবং $(5,-4)$ বিন্দুগামী সংযোজক রেখাকে $X$ অক্ষ $k:1$ অনুপাতে $P$ বিন্দুতে বিভক্ত করে

$P$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(\frac{5k+4}{k+1}, \frac{-4k+3}{k+1})$

$X$ অক্ষে $(\frac{-4k+3}{k+1})=0\Rightarrow k= \frac{3}{4}$

$\therefore k:1= \frac{3}{4}:1=3:4$

3 এবং $-\frac{1}{3}$ বীজ বিশিষ্ট সমীকরণ টি হোল

$3x^2-8x-3=0$ B. $3x^2+8x+3=0$ C. $2x^2-7x+2=0$ D. কোনটি নয়

সমাধানঃ

3 এবং $-\frac{1}{3}$ বীজ বিশিষ্ট সমীকরণ টি হোল

$(x-3)(x+\frac{1}{3})=0\\\\\Rightarrow \frac{(x-3)(3x+1)}{3}=0\\\\\Rightarrow (x-3)(3x+1)=0\\\\\Rightarrow 3x^2+x-9x-3=0\\\\\Rightarrow 3x^2-8x-3=0$

$r$ ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট নিরেট অর্ধগোলক থেকে সর্বাধিক কত আয়তনের নিরেট শঙ্কু কেটে নেওয়া যাবে ?

$4\pi r^3$ ঘন একক B. $3\pi r^3$ ঘন একক C. $\frac{\pi r^3}{4}$ ঘন একক D. $\frac{\pi r^3}{3}$ ঘন একক

সমাধানঃ

$r$ ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট নিরেট অর্ধগোলক থেকে যে শঙ্কু কেটে নেওয়া যাবে তার উচ্চতা হবে $r$ একক এবং ভূমির ব্যাসার্ধ $r$ একক

$\therefore$ শঙ্কুর আয়তন = $\frac{\pi r^3}{3}$

একটি নদীর এক পাড়ে একটি তাল গাছ আছে, তার ঠিক বিপরীত পাড়ে একটি খুঁটি আছে। যদি খুঁটিটি কে নদীর পাড় বরাবর $7 \sqrt 3$ মিটার সরিয়ে নিয়ে গেলে, খুঁটিটি নদীর পাড়ের সাপেক্ষে তালগাছটির সঙ্গে $60^o$ কোন করেছে । তাহলে নদীটি চওড়া হবে

$20$ মিটার B. $21$ মিটার C. $22$ মিটার D. $24$ মিটার

MCQ Test Questions On Factorization ICSE Class 10

সমাধানঃ

এখানে, $AC$ নদীর চওড়া অংশ , এবং $\triangle ABC$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ

$\therefore tan 30^o =\frac{AB}{AC} \\\\\Rightarrow \frac{1}{\sqrt 3} =\frac{7 \sqrt 3}{AC} \\\\\therefore AC= 21$ মিটার

O কেন্দ্রীয় বৃত্তের P একটি বহিঃস্থ বিন্দু । OP যোগ করা হল । এবার P বিন্দু থেকে দুটি স্পর্শক টানতে পরবর্তী পদক্ষেপ কি হওয়া উচিত ?

$O$ কেন্দ্রীয় $OP$ ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি বৃত্ত টানা

$OP$ কে সমদ্বিখণ্ডিত করা উচিত

$OP$ কে সমত্রিখণ্ডিত করা উচিত

কোনটি নয়

সমাধানঃ

$\triangle ABC$ ত্রিভুজের $AB=9$ সেমি, $BC=6$ সেমি এবং $CA=7.5$ সেমি । $\triangle ABC$ এবং $\triangle DEF$ সদৃশ কোনী ত্রিভুজ যেখানে $BC$ এবং $EF$ অনুরূপ বাহু এবং $EF=8$ সেমি, তাহলে $\triangle DEF$ এর পরিসীমা হবে

$22.5$ সেমি B. $25$ সেমি C. $27$ সেমি D. $30$ সেমি

সমাধানঃ

$\triangle ABC$ এবং $\triangle DEF$ সদৃশ কোনী ত্রিভুজ, যেখানে $BC$ এবং $EF$ অনুরূপ বাহু

$\therefore \frac{EF}{BC}= \frac{DE}{AB}= \frac{DF}{AC}\\\\\Rightarrow \frac{8}{6}= \frac{DE}{9}= \frac{DF}{7.5}\\\\\therefore \frac{8}{6}= \frac{DE}{9} \Rightarrow DE=12,\\\\ \frac{8}{6}=\frac{DF}{7.5}\Rightarrow DF= 10$

$\therefore \triangle DEF$ এর পরিসীমা = $(8+12+10)=30$ মিটার

তিনটি সমান বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করে । বৃত্তে তিনটির কেন্দ্রের যোগ করলে কি হবে

সমকোণী ত্রিভুজ B. সমবাহু ত্রিভুজ C. সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ D. সদৃশকোণী ত্রিভুজ

সমাধানঃ

$\triangle DFH$ একটি সমবাহু ত্রিভুজ

যদি $(1+m^2)x^2+2mcx+c^2-a^2=0$ সমীকরণ দুটির বীজ সমান হয় তাহলে

$a^2=c^2(1+m^2)$ B. $m^2=a^2(1+c^2)$ C. $c^2=a^2(1+m^2)$ D. $am=cm)$

সমাধানঃ

$(1+m^2)x^2+2mcx+c^2-a^2=0$ সমীকরণ দুটির বীজ সমান হলে

$(2mc)^2=4(1+m^2)(c^2-a^2)\\\\\Rightarrow 4m^2c^2= 4(c^2-a^2+m^2c^2-m^2a^2)\\\\\Rightarrow 4m^2c^2= 4c^2-4a^2+4m^2c^2-4m^2a^2 \\\\\Rightarrow c^2=a^2(1+m^2)$