Solution of sample questions -VIII

by

অষ্টম শ্রেণী

Solution of sample questions -VIII/অষ্টম শ্রেণী /দাগ নম্বর  -3 

3.  প্রতিটি প্রশ্নের উত্তর দাও      [প্রশ্নমান -২]

i. যোগের বিনিময়  সংযোগ নিয়ম ব্যবহার করে মান  নির্ণয় করো। 

\frac{5}{8}+(-\frac{7}{15})+\frac{3}{32}+\frac{11}{75} 

উত্তরঃ 

\frac{5}{8}+(-\frac{7}{15})+\frac{3}{32}+\frac{11}{75}\\\\=\frac{5}{8}+[(-\frac{7}{15})+\frac{3}{32}]+\frac{11}{75}\\\\=\frac{5}{8}+[\frac{3}{32}+(-\frac{7}{15})]+\frac{11}{75}\\\\=[\frac{5}{8}+\frac{3}{32}]+[(-\frac{7}{15})+\frac{11}{75}]\\\\=[\frac{20+3}{32}]+[\frac{-35+11}{75}]\\\\=\frac{23}{32}+(\frac{-24}{75})\\\\=\frac{23\times 75-24\times 32}{32\times 75}=\frac{957}{2400}=\frac{319}{800}

ii. গুনের বিনিময় ও সংযোগ নিয়ম ব্যবহার করে মান নির্ণয় করো 

-\frac{3}{5}\times \frac{4}{7}\times \frac{15}{16}\times -\frac{14}{9} 

উত্তরঃ 

iii. -\frac{4}{3}  ও \frac{3}{7}  এর মধ্যে 5 টি মূলদ সংখ্যা নির্ণয় করো 

উত্তরঃ 

ধরি, 
d=\frac{\frac{3}{7}-(-\frac{3}{4})}{6}=\frac{\frac{3}{7}+\frac{3}{4}}{6}\\\\=\frac{\frac{12+21}{28}}{6}=\frac{\frac{33}{28}}{6}=\frac{33}{28\times 6}=\frac{33}{168} 

-\frac{4}{3}

  ও \frac{3}{7}  এর মধ্যে 5 টি মূলদ সংখ্যা হলো  
-\frac{4}{3}+d, -\frac{4}{3}+2d, -\frac{4}{3}+3d, -\frac{4}{3}+4d, -\frac{4}{3}+5d\\\\\Rightarrow -\frac{4}{3}+\frac{33}{168}, -\frac{4}{3}+2\times \frac{33}{168}, -\frac{4}{3}+3\times \frac{33}{168}, -\frac{4}{3}+4\times \frac{33}{168}, -\frac{4}{3}+5\times \frac{33}{168}\\\\\Rightarrow \frac{-191}{168}, \frac{-158}{168}, \frac{-125}{168},\frac{-92}{168}, \frac{-59}{168} 
এই মূলদ সংখ্যা গুলির বিশেষ বৈশিষ্ট হলো এরা সমদূরবর্তী। 

iv. গল্প তৈরী করো ও ত্রৈরাশিক পদ্ধতিতে সমাধান করো :

          গতিবেগ (কিমি /ঘন্টা )                   দূরত্ব  (কিমি )
                       9                                               112.5                                        12                                                 ? 

উত্তরঃ 

    গল্প :  রতন বাবু তাঁর বাইসাইকেল করে 9কিমি/ঘন্টা গতিবেগে কিছু সময়ে তিনি 112.5 কিমি দূরত্ব যায়। 
যদি সে তার সাইকেলের পরিবর্তে তাঁর মোটরসাইকেলে যেত তাহলে তিনি কত দূরত্ব অতিক্রম করতো
 ওই একেই সময়ে , যদি তার মোটর সাইকেলের গতিবেগ 12 কিমি /ঘন্টা হয় । 
সমাধানঃ 
গতিবেগ বাড়লে নির্দিষ্টি সময়ে বেশি দূরত্ব অতিক্রম করবে, আর গতিবেগ কমলে নির্দিষ্টি সময়ে কম
 দূরত্ব অতিক্রম করবে,
\therefore গতিবেগের অনুপাতের সঙ্গে অতিক্রান্ত দূরত্বের অনুপাত সরলসমানুপাতে আছে 
\therefore  নির্ণেয় অতিক্রান্ত দূরত্ব  =9:12::112.5:\star \\\\\Rightarrow \frac{9}{12}=\frac{112.5}{\star }\\\\\Rightarrow \star =112.5\times \frac{12}{9}=37.5\times 4=150 
\therefore

তিনি মোটরসাইকেলে গেলে 150 কিমি দূরত্ব অতিক্রম করতেন। 

  Class-VIII / প্রশ্নমালা -6.2/ K. C. NAG

v.  জল জমে বরফ হলে আয়তন 10% বৃদ্ধি পায়। এই বরফ গলে জল হলে

 আয়তন শতকরা কত হ্রাস পাবে ?

উত্তরঃ 

ধরি,   x ঘন একক জল জমে বরফে পরিণত হলো 
x  ঘন একক জল জমে বরফে পরিণত হলে বরফের আয়তন হবে 
 =(x+x\times \frac{10}{100})  ঘন একক =(x+\frac{x}{10})  ঘন একক =\frac{11x}{10}

ঘন একক 
ওই \frac{11x}{10}  ঘন একক বরফ গলে জলে পরিণত হলে জলের আয়তন হবে x ঘন একক 
\therefore আয়তনের হ্রাস = \left (\frac{11x}{10}-x \right ) ঘন একক=\frac{x}{10}  ঘন একক 
শতকরা হ্রাস  =\frac{\frac{x}{10}}{\frac{11x}{10}}\times 100=\frac{x}{10}\times \frac{10}{11x}\times 100\\\\=\frac{100}{11}=9\frac{1}{11}  \therefore বরফ গলে জল হলে আয়তন শতকরা 9\frac{1}{11}  হ্রাস পাবে 

vi.  চিনির মূল্য 20% বেড়ে গেছে। তাই চিনির মাসিক খরচ অপরিবর্তিত

 রাখতে চিনির মাসিক ব্যবহারের পরিমান শতকরা কত কম করতে হবে ? 

উত্তরঃ 

ধরি, আগে মাসে x টাকা খরচ হতো y একক চিনির জন্যে
এখন, 20% চিনির মূল্য বেড়ে যাওয়াতে ওই y  একক চিনির মূল্য হবে 
=(x+x\times \frac{20}{100})   টাকা =(x+x\times \frac{1}{5})  টাকা =\frac{6x}{5}  টাকা 
কিন্তু খরচ অপরিবর্তত রাখতে ওই x টাকায়  এখন কত চিনি পাওয়া যাবে, 
  এখন, \frac{6x}{5}  টাকায় পাওয়া  যায় y একক চিনি                   ,,        1               ,,               ,,        \frac{5y}{6x}  একক চিনি                   ,,      x            ,,                ,,  \frac{5y}{6x}\times x=\frac{5y}{6} একক চিনি 

\therefore  চিনির পরিমানের মাসিক ব্যবহার কমবে = y-\frac{5y}{6}=\frac{6y-5y}{6}=\frac{y}{6}  একক 
 \therefore চিনির ব্যবহারের শতকরা পরিমান কমবে =\frac{\frac{y}{6}}{y}\times 100\\\\=\frac{100}{6}=16\frac{4}{6}=16\frac{2}{3} 
\therefore চিনির মাসিক খরচ অপরিবর্তিত রাখতে চিনির মাসিক ব্যবহারের পরিমান শতকরা 16\frac{2}{3} কম করতে হবে 

vii. t- এর কোন মানের জন্য (x^{2}-tx+\frac{1}{4}) একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যামালা

 হবে?

উত্তরঃ

x^{2}-tx+\frac{1}{4}\\\\=x^{2}-2.x.\frac{t}{2}+\left ( \frac{t}{2}\right )^{2}-\left ( \frac{t}{2}\right )^{2}+\frac{1}{4}\\\\=\left ( x-\frac{t}{2} \right )^{2} +\left ( \frac{1}{4} -\frac{t^{2}}{4}\right ) 
\therefore x^{2}-tx+\frac{1}{4} পূর্নবর্গ হবে যদি \left ( \frac{1}{4} -\frac{t^{2}}{4}\right )=০ হয় , 
\therefore \frac{1}{4} -\frac{t^{2}}{4}=0\\\\\Rightarrow \frac{t^{2}}{4}=\frac{1}{4}\\\\\Rightarrow t^{2}=1\\\\\Rightarrow t=\pm 1\\\\\therefore t=\pm 1 
\therefore t=\pm 1 হলে (x^{2}-tx+\frac{1}{4}) একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যামালা হবে। 

  স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গ

viii. দুটি বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করো :   (4x+3y)(2x-3y) 

উত্তরঃ 

(4x+3y)(2x-3y)\\\\=4x\left ( 2x-3y \right )+3y\left ( 2x-3y \right )\\\\=8x^{2}-12xy+6xy-9y^{2}\\\\=8x^{2}-6xy-9y^{2}\\\\=8\left ( x^{2}-\frac{3}{4}xy-\frac{9}{8}y^{2} \right )\\\\=8\left \{ x^{2}-2.x.\frac{3y}{8}+\left ( \frac{3y}{8} \right )^{2}-\left ( \frac{3y}{8} \right )^{2}-\frac{9}{8}y^{2} \right \}\\\\=8\left \{ \left ( x-\frac{3y}{8} \right )^{2} -\frac{9y^{2}}{64}-\frac{9y^{2}}{8}\right \}\\\\=8\left \{ \left ( x-\frac{3y}{8} \right )^{2} -\left ( \frac{81y^{2}}{64} \right )\right \}\\\\=8\left \{ \left ( x-\frac{3y}{8} \right )^{2}-\left ( \frac{9y}{8} \right )^{2} \right \} 

ix.  x-\frac{1}{9x}=1  হলে  (27x^{3}-\frac{1}{27x^{3}}) এর মান  কত হবে?

উত্তরঃ 

x-\frac{1}{9x}=1...........(i) 
(i) নম্বরের উভয়পক্ষকে 3 দিন গুন করে পাই , 
3x-\frac{1}{3x}=3...........(ii)
(iii) নং এর উভয়পক্ষকে ঘন করে পাই,
3x-\frac{1}{3x}=3\\\\\Rightarrow \left (3x-\frac{1}{3x} \right )^{3}=\left ( 3 \right )^{3}\\\\\Rightarrow 27x^{3}-\frac{1}{27x^{3}}-3.3x.\frac{1}{3x}\left ( 3x-\frac{1}{3x} \right )=27\\\\\Rightarrow 27x^{3}-\frac{1}{27x^{3}}-3.3=27\\\\\Rightarrow 27x^{3}-\frac{1}{27x^{3}}=27+9=36 
\therefore 27x^{3}-\frac{1}{27x^{3}}=36  

x.  a+b=-\frac{1}{3}  হলে (a^{3}+b^{3}-ab) এর মান নির্ণয় করো। 

উত্তরঃ 

a+b=-\frac{1}{3}.............(i)
 (i) নং এর উভয়পক্ষকে ঘন করে পাই, 
a+b=-\frac{1}{3}\\\\\Rightarrow \left ( a+b \right )^{3}=\left ( -\frac{1}{3} \right )^{3}\\\\\Rightarrow a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)=-\frac{1}{27}\\\\\Rightarrow a^{3}+b^{3}+3ab\times (-\frac{1}{3})=-\frac{1}{27}\\\\\Rightarrow a^{3}+b^{3}-ab=-\frac{1}{27} 
\therefore a^{3}+b^{3}-ab=-\frac{1}{27} 

xi.  x+y=2  এবং \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2  হলে (x^{3}+y^{3})  এর মান 

 নির্ণয় করো। 

উত্তরঃ 

x+y=2 এবং  \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2\\\\\Rightarrow \frac{y+x}{xy}=2\\\\\Rightarrow x+y=2xy\\\\\Rightarrow 2=2xy\\\\\therefore xy=1 

(x^{3}+y^{3})=(x+y)^{3}-3xy(x+y)\\\\\Rightarrow (x^{3}+y^{3})=(2)^{3}-3\times 1\times 2\\\\\Rightarrow (x^{3}+y^{3})=8-6=2 
\therefore (x^{3}+y^{3})=2 

xii. ঘন নির্ণয় করো : (1+b-2c) 

উত্তরঃ 

(1+b-2c) 
ঘন করে পাই, 
(1+b-2c)^{3}=\left \{ 1+\left ( b-2c \right ) \right \}^{3}\\\\=1+(b-2c)^{3}+3\times (1)^{2}\times (b-2c)+3\times 1\times (b-2c)^{2}\\\\=1+b^{3}-8c^{3}-6b^{2}c+12bc^{2}+3b-6c+3\times (b^{2}-4bc+4c^{2})\\\\=1+b^{3}-8c^{3}-6b^{2}c+12bc^{2}+3b-6c+3b^{2}-12bc+12c^{2}\\\\=b^{3}-8c^{3}-6b^{2}c+12bc^{2}+3b^{2}+12c^{2}+3b-6c-12bc+1 

xiii.  (3+2a-a^{2})  এর উৎপাদক গুলির সমষ্টি কত হবে ?

উত্তরঃ 

3+2a-a^{2}\\\\=3+(3-1)a-a^{2}\\\\=3+3a-a-a^{2}\\\\=3(1+a)-a(1+a)\\\\=(1+a)(3-a) 
উৎপাদক গুলির সমষ্টি হলো : (1+a)+(3-a)=1+a+3-a=4 

xiv.   সরল করো :

5.73\times 5.73\times 5.73-3\times 5.73\times 5.73\times 3.73\\\\+3\times 5.73\times 3.73\times 3.73-3.73\times 3.73\times 3.73 

উত্তরঃ 

5.73\times 5.73\times 5.73-3\times 5.73\times 5.73\times 3.73\\\\+3\times 5.73\times 3.73\times 3.73-3.73\times 3.73\times 3.73\\\\=(5.73)^{3}-3\times (5.73)^{2}\times (3.73)+3\times (5.73)\times (3.73)^{2}-(3.73)^{3}\\\\=(5.73-3.73)^{3}=(2)^{3}=8 

xv. a+\frac{1}{a}=3  হলে (a^{5}+\frac{1}{a^{5}})  এর মান  কত ?

উত্তরঃ 

a+\frac{1}{a}=3.............(i) 
(i) নং এর উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,  \left ( a+\frac{1}{a} \right )^{2}=(3)^{2}\\\\\Rightarrow a^{2}+\frac{1}{a^{2}}+2=9\\\\\Rightarrow a^{2}+\frac{1}{a^{2}}=7 
\therefore a^{2}+\frac{1}{a^{2}}=7...................(ii)
(i) নং এর উভয়পক্ষকে ঘন করে পাই, 
\left ( a+\frac{1}{a} \right )^{3}=(3)^{3}\\\\\Rightarrow a^{3}+\frac{1}{a^{3}}+3.a.\frac{1}{a}(a+\frac{1}{a})=27\\\\\Rightarrow a^{3}+\frac{1}{a^{3}}+3\times 3=27\\\\\Rightarrow a^{3}+\frac{1}{a^{3}}=27-9=18 
\therefore a^{3}+\frac{1}{a^{3}}=18...................(iii) 
(ii) নং ও  (iii) নং কে গুন করে পাই, 
\left ( a^{3}+\frac{1}{a^{3}} \right )\times \left ( a^{2}+\frac{1}{a^{2}} \right )=7\times 18=126\\\\\Rightarrow a^{5}+a+\frac{1}{a}+\frac{1}{a^{5}}=126\\\\\Rightarrow a^{5}+\frac{1}{a^{5}}+\left ( a+\frac{1}{a} \right )=126\\\\\Rightarrow a^{5}+\frac{1}{a^{5}}=126-3=123 
\therefore a^{5}+\frac{1}{a^{5}}=123 

xvi.  2x+\frac{1}{3x}=4 হলে 27x^{3}+\frac{1}{8x^{3}}=  কত হবে ?

উত্তরঃ 

2x+\frac{1}{3x}=4 ..............(i) 
(i) এর উভয়পক্ষকে  \frac{3}{2}  দিয়ে গুন করে পাই, 
\frac{3}{2}\times \left ( 2x+\frac{1}{3x} \right )=\frac{3}{2}\times 4\\\\\Rightarrow 3x+\frac{1}{2x}=6 \therefore 3x+\frac{1}{2x}=6...............(ii) 
(ii) নং এর উভয়পক্ষকে ঘন করে পাই,  
\left ( 3x+\frac{1}{2x} \right )^{3}=(6)^{3}\\\\\Rightarrow 27x^{3}+\frac{1}{8x^{3}}+3.3x.\frac{1}{2x}(3x+\frac{1}{2x})=216\\\\\Rightarrow 27x^{3}+\frac{1}{8x^{3}}+3.3.\frac{1}{2}.6=216\\\\\Rightarrow 27x^{3}+\frac{1}{8x^{3}}+27=216\\\\\Rightarrow 27x^{3}+\frac{1}{8x^{3}}=216-27=189 
\therefore 27x^{3}+\frac{1}{8x^{3}}=189 

xvii. কোনো কোনের অন্তঃসমদ্বিখণ্ডক ও বহিঃসমদ্বিখণ্ডক এর মধ্যবর্তী

 কোনের  মান  নির্ণয় করো। 

উত্তরঃ 

\angle SOQ এর অন্তঃসমদ্বিখণ্ডক OT এবং বহিঃসমদ্বিখণ্ডক হলো OR  
\angle SOQ+\angle SOP=180^{o}  (অন্তঃকোন ও বহিঃকোনের যোগফল সর্বদা 180^{o} )
\frac{1}{2}\times \left ( \angle SOQ+\angle SOP \right )=\frac{1}{2}\times 180^{o}\\\\\Rightarrow \frac{1}{2}\times \angle SOQ+\frac{1}{2}\times \angle SOP=90^{o}\\\\\Rightarrow \angle SOT+\angle SOR=90^{o} 

\therefore  কোনো কোনের অন্তঃসমদ্বিখণ্ডক ও বহিঃসমদ্বিখণ্ডক এর মধ্যবর্তী কোনের মান 90^{o} .

xviii. AB  সরলরেখাংশের A ও B বিন্দুতে AB সরলরেখাংশের বিপরীত

 পাশে \angle BAX ও \angle ABY দুটি সমান কোনের সমদ্বিখণ্ডক দুটি

 কিভাবে অবস্থিত তা নির্ণয় করো ?

উত্তরঃ 

যেহেতু \angle BAX=\angle ABY , 
\therefore  AP  ও BQ  সমদ্বিখন্ডকের ফলে উৎপন্ন কোনদুটিও সমান হবে, \therefore \angle PAB=\angle ABQ AP  ও BQ  দুটি সরল রেখা এবং AB ছেদক এর ফলে উৎপন্ন একান্তর কোন \angle PAB  ও \angle ABQ আবার, \angle PAB=\angle ABQ\therefore AP\parallel BQ  

xix. একটি স্থুলকোনী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সূক্ষকোণের পরিমাপ স্থুলকোনের

 পরিমাপের \frac{1}{3} অংশ হলে ত্রিভুজটির প্রত্যেক কোনের পরিমাপ

 করো। 

উত্তরঃ 

ধরি , \triangle ABC  একটি স্থুলকোনী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যার AB=AC এবং \angle BAC হলো একটি স্থুলকোন, 
যেহেতু, AB=AC \Rightarrow \angle ABC= \angle ACB 
ধরি, \angle ABC= \angle ACB=x^{o} 
প্রশ্নানুসারে, \angle BAC=3x^{o} 
\because \angle BAC+\angle ABC+\angle ACB=180^{o}\\\\\Rightarrow 3x^{o}+x^{o}+x^{o}=180^{o}\\\\\Rightarrow 5x^{o}=180^{o}\\\\\Rightarrow x^{o}=36^{o} 

  All algebraic formula + বিভিন্ন প্রকার একক এবং তাদের সম্পর্ক

\therefore \angle ABC=\angle ACB=36^{o} এবং \angle BAC=3\times 36^{o}=108^{o} 


xx. দেখাও যে একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু দিয়ে ভূমির সমান্তরাল

 সরলরেখা শীর্ষ কোনের বহিঃ সমদ্বিখণ্ডক। 

উত্তরঃ 

প্রদত্ত :  \triangle ABC  এর AB=AC এবং AE\parallel BC 
প্রামাণ্য : \angle DAE=\angle CAE অর্থাৎ AE, শীর্ষকোন \angle BAC  এর বহিঃসমদ্বিখণ্ডক। 
প্রমান :  
\triangle ABC  এর AB=AC সুতরাং, \angle ABC=\angle ACB 
AE\parallel BC  এবং AC  ছেদক।  সুতরাং \angle CAE= \angle ACB (একান্তরকোন )
AE\parallel BC এবং BD  ছেদক।  সুতরাং \angle DAE=\angle ABC (অনুরূপকোন )
যেহেতু, \angle ABC=\angle ACB , সুতরাং \angle DAE=\angle CAE (প্রমাণিত )

Solution of sample questions – VIII  / অষ্টম শ্রেণী  /  দাগ নম্বর 2:

http://sdtutoronline.com/solution-of-sample-questions-viii-2-2/

Spread/ share this post

Leave a Comment