বর্গমূল সমন্ধে বিশদ আলোচনা

বর্গমূল

কিছু সাধারন প্রশ্নের উত্তর এখন আমি জানতে চাইব তোমাদের কাছে —

যদি কোন বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 144 বর্গ একক হয়, তাহলে তার বাহুর দৈর্ঘ্য কত ?

আমারা জানি,

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহু $) ^{2}$

ধরি, যদি বাহুর দৈর্ঘ্য a একক হয়, তাহলে 144 = a $^{2}$

বাহুর দৈর্ঘ্য বের করতে হলে আমাদের জানতে হবে একটি সংখ্যা যার বর্গ 144 ।

সুতরাং কোন সংখ্যা বের করো যার বর্গ আমাদের কাছে জানা, সেই সংখ্যা বের করাকে বলা হয় বর্গমূল বের করা ।

অতএব, আমারা খুবুই সহজ ভাবে বলতে পারি যে, কোনও একটি সংখ্যা x এর বর্গমূল হল সেই সংখ্যা যা সেই সংখ্যাকে সেই সংখ্যা দিয়ে গুন করলে x পাবো আমারা ।

যদি m এর বর্গমূল n হয়, তাহলে $m=n\times n=n^{2}$

যেকোনো সংখ্যার বর্গমূলের চিহ্ন হল $\sqrt{}$

এবং কোণ সংখ্যা m এর বর্গমূল কে প্রকাশ করা হয় $\sqrt{m}=n$

বর্গমূল নির্ণয়

আমারা জানি যে, যোগ হল বিয়োগের বিপরীত ক্রিয়া, এবং ভাগ হল গুনের বিপরীত ক্রিয়া, তেমনই বর্গমূল নির্ণয় হল কোণ সংখ্যার বর্গ নির্ণয়ের বিপরীত ক্রিয়া ।

সুতরাং , $5^{2}=25\Rightarrow$ 25 এর বর্গমূল = 5 $\left ( i.e. \sqrt{25}=5 \right )$

$6 ^{2}=36 \Rightarrow$

36 এর বর্গমূল = 6 $\left ( i.e. \sqrt{36}=6 \right )$

$5^{2}=25, (-5)^{2}=25$ , তাহলে 25 এর বর্গমূল হবে +5 ও -5

$\therefore$ যেকোনো পূর্ণবর্গ সংখ্যার বর্গমূল করলে আমারা দুটি পূর্ণসংখ্যা পাবো ।

কিন্তু আমারা এখন শুধুমাত্র ধনাত্মক বর্গমূলটি নিয়ে আলোচনা করব ।

বর্গমূল নির্ণয়ের পদ্ধতি

( A). সংখ্যার মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণের সাহায্যে বর্গমূল নির্ণয়

বর্গসংখ্যা বা পূর্ণবর্গ সংখ্যা আলোচনা করার সময়ে আমারা দেখেছি,

যেকোনো পূর্ণবর্গ সংখ্যাকে আমরা একেই মৌলিক সংখ্যার জোড়ের গুণফল আকারে প্রকাশ করতে পারি ।

i. প্রথমে সংখ্যাটি কে মৌলিক সংখ্যার গুফল আকারে প্রকাশ করব আমরা ।

ii. একেই মৌলিক সংখ্যার জোড় তৈরি করবো

iii. প্রতিটি জোড় থেকে একটি করে মৌলিক সংখ্যা নিয়ে গুন করলে যে গুনফল টি হবে, সেটি হল আমাদের নির্ণেয় বর্গমূল সংখ্যা ।

অথবা,

i. প্রথমে সংখ্যাটি কে মৌলিক সংখ্যার গুফল আকারে প্রকাশ করব আমরা ।

ii. একেই মৌলিক উৎপাদক গুলিকে জোড়ের আকারে না লিখে, মৌলিক উৎপাদক গুলিকে তাদের ঘাতের আকারে লিখে, উৎপাদক গুলির মানের ঘাতের অর্ধেক আকারে নিয়ে উৎপাদক গুলি গুন করলে, যে গুন ফল পাবো তাহলো আমাদের নির্ণেয় বর্গমূল ।

$\bigstar$ ভগ্নাংশ সংখ্যার বর্গমূল = লবের বর্গমূল / হরের বর্গমূল

উদাহরণ ১ : মৌলিক উৎপাদকের সাহায্যে 729 এর বর্গমূল নির্ণয় করোসমাধানঃ
$\\729=\left (3\times 3 \right )\times \left (3\times 3 \right )\times \left (3\times 3 \right )\\\\729=3^{2}\times 3^{2}\times 3^{2}\\\\\therefore \sqrt{729}=\sqrt{3^{2}\times 3^{2}\times 3^{2}}\\\\=3\times 3\times 3=27$
$\therefore$

729 এর বর্গমূল হোলো 27

উদাহরন ২: মৌলিক উৎপাদকের সাহায্যে 6400 এর বর্গমূল নির্ণয় করো

উদাহরন ৩ : মৌলিক উৎপাদকের সাহায্যে $10\frac{86}{121}$ এর বর্গমূল নির্ণয় করো
সমাধান :

$10\frac{86}{121}$ এর বর্গমূল = $\\\\\sqrt{10\frac{86}{121}}=\sqrt{\frac{1296}{121}}=\sqrt{\frac{2^{2}\times 2^{2}\times 3^{2}\times 3^{2}}{11^{2}}}\\\\\sqrt{10\frac{86}{121}}=\frac{2\times 2\times 3\times 3}{11}=\frac{36}{11}=3\frac{3}{11}$

উদাহরন ৪ : মৌলিক উৎপাদকের সাহায্যে $42.25$ এর বর্গমূল নির্ণয় করো

সমাধান : $\\42.25=\frac{4225}{100}=\frac{169}{4}=\frac{13\times 13}{2\times 2}\\\\\Rightarrow 42.25=\frac{13^{2}}{2^{2}}$

$42.25$ এর বর্গমূল = $\\\sqrt{42.25}=\sqrt{\frac{4225}{100}}=\sqrt{\frac{169}{4}}=\sqrt{\frac{13\times 13}{2\times 2}}\\\\\Rightarrow \sqrt{42.25}=\sqrt{\frac{13^{2}}{2^{2}}}=\frac{13}{2}=6.5$

উদাহরন ৫ : পাড়ার সুকান্ত গ্রন্থাগারের সদস্যরা প্রত্যেকে সদস্য সংখ্যার সমান সংখ্যক চাঁদা দেওয়াতে মোট 729 টাকা চাঁদা উঠেছে । গ্রন্থাগারে সদস্য সংখ্যা কত জন ?

Solution of sample questions -VIII

সমাধান :

ধরি , সুকান্ত গ্রন্থাগারে সদস্য সংখ্যা x জন

$\therefore$ প্রতেকে চাঁদা দিয়েছে x টাকা করে

$\therefore$ x জনে মোট চাঁদা দিয়েছেন = $= (x\times x)$ টাকা = $= x^{2}$ টাকা

প্রশ্নানুসারে,

$x^{2}=729\\\\\Rightarrow x=\sqrt{729}=\sqrt{9\times 9\times 9}\\\\\Rightarrow x=\sqrt{3^{2}\times3^{2}\times3^{2} }=3\times 3\times 3=27$

$\therefore$ গ্রন্থাগারের সদস্য সংখ্যা 27 জন ।

উদাহরন ৬ঃ 2352 সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা কিনা বলো ? যদি পূর্ণবর্গ সংখ্যা না হয়, তাহলে 2352 এর সবথেকে ছোটো গুণিতক বের করো যেটা পূর্ণবর্গ সংখ্যা এবং পূর্ণবর্গ সংখ্যাটির বর্গমূল নির্ণয় করো ।

সমাধান :

$2352 =2^{4}\times 7^{2}\times 3$ 2352 কে মৌলিক সংখ্যার জোড়ের গুণফল আকারে প্রকাশ করা যাছে না , 2352 এর মধ্যে 3 মৌলিক সংখ্যাটি এক বার উপস্থিত

$\therefore$ 2352 সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয় । 2352 সংখ্যার সবথেকে ছোটো যে গুণিতক পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে তাহলো $= 2352 \times =2^{4}\times 7^{2}\times 3\times 3=7056$

7056 এর বর্গমূল = $\sqrt{7056}=2^{2}\times 7\times 3=84$

উদাহরন ৭ : সবথেকে ছোটো পূর্ণবর্গ সংখ্যা বের করো যেটা 6 , 9 , ও 15 দিয়ে বিভাজ্য ।

সমাধান :

6 , 9 , ও 15 এর ল. সা. গু. = 90 সবথেকে ছোটো সংখ্যা যা 6 , 9 , ও 15 দিয়ে বিভাজ্য তাহলো = 90 $90=3^{2}\times 2\times 5$

$\therefore$ 6 , 9 , ও 15 দিয়ে বিভাজ্য সবথেকে ছোটো সংখ্যা 90 , কিন্তু 90 পূর্ণবর্গ নয় । 90 কে পূর্ণবর্গ করতে হলে আমাদের 90 কে $2\times 5$ দিয়ে গুন করতে হবে

$\therefore$ সবথেকে ছোটো পূর্ণবর্গ সংখ্যা যা 6 , 9 , ও 15 দিয়ে বিভাজ্য = $90\times 2\times 5=900$

উদাহরন ৮ : দুটি সংখ্যার গুণফল 7270 , যদি একটি সংখ্যা অন্য সংখ্যাটির 15 গুন হয়, তাহলে সংখ্যাগুলি নির্ণয় করো ।

সমাধান : নিজেরা চেষ্টা করো

উদাহরন ৯ : তিনটি সংখ্যা নির্ণয় করো যাদের আনুপাত 2:3:5 , এবং বর্গের যোগফল 950 ।

সমাধান : নিজেরা চেষ্টা করো ।

উদাহরণ ১০ঃ দুটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা 60 মিটার ও 144 মিটার হলে , একটি বড়ো বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা বের করো যার ক্ষেত্রফল আগের বর্গক্ষেত্র দুটির ক্ষেত্রফলের যোগফলের সমান ।
সমাধান :

প্রথম বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 60 মিটার

আমারা জানি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4 $\times$ একটি বাহু র দৈর্ঘ্য

প্রশ্নানুসারে, 4 $\times$ একটি বাহুর দৈর্ঘ্য = 60 মিটার

$\therefore$ একটি বাহুর দৈর্ঘ্য = $60\div 4$ মিটার = 15 মিটার

$\therefore$ প্রথম বর্গক্ষেত্রে একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 15 মিটার

$\therefore$ প্রথম বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = $15\times 15$ বর্গ মিটার = 225 বর্গ মিটার

প্রশ্নে যে বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা 144 মিটার সেটিকে দ্বিতীয় বর্গক্ষেত্রও ধরিলাম

$\therefore$ 4 $\times$ দ্বিতীয় বর্গক্ষেত্রের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য = 144 মিটার $\therefore$ দ্বিতীয় বর্গক্ষেত্রের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য = $144\div 4$ মিটার = 36 মিটার

$\therefore$ দ্বিতীয় বর্গক্ষেত্রে একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 36 মিটার

$\therefore$ দ্বিতীয় বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $= 36\times 36$ বর্গ মিটার = 1296 বর্গ মিটার

$\therefore$ বড়ো বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = $225+1296$ বর্গমিটার = 1521 বর্গমিটার

$\therefore$ বড়ো বর্গক্ষেত্রের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য = $\sqrt{1521}$ মিটার = $\sqrt{3^{2}\times 13^{2}}$ মিটার = $3\times 13$ মিটার =39 মিটার

$\therefore$ বড়ো বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = $4\times 39$ মিটার =156 মিটার

বর্গমূল সম্পর্কিত কিছু প্রশ্ন

1 . নিচের সংখ্যাগুলি বর্গমূল বের করো
(i). 784 (ii). 441 (iii). 1849 (iv). 4356 (v). 6241 (vi). 8836 (vii). 9025 (viii). 11881 (ix). 1681 (x). 1369

Solution of sample questions -VIII

2. নিচের সংখ্যাগুলি বর্গমূল বের করো (i). $9\frac{67}{121}$ (ii). $17\frac{13}{36}$ (iii). 1.96 (iv). 0.0064

3. নিচের প্রতিটি সংখ্যাকে সবথেকে ছোটো কোন সংখ্যা দিয়ে গুন করলে সংখ্যাগুলি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে এবং পূর্ণবর্গ সংখ্যাটির বর্গমূল নির্ণয় করো ।

(i). 588 (ii). 441 (iii). 2178 (iv). 4356 (v). 3042 (vi). 6300

4. নিচের প্রতিটি সংখ্যাকে সবথেকে ছোটো কোন সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে ভাগ্যফল পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে এবং পূর্ণবর্গ সংখ্যাটির বর্গমূল নির্ণয় করো ।

(i). 1782 (ii). 441 (iii). 2592 (iv). 3380 (v). 16244 (vi). 61347

5. সব থেকে ছোটো কোন পূর্ণবর্গ সংখ্যা গুলি নিচের সংখ্যা গুলি দিয়ে ভাগ যাবে তা নির্ণয় করো

(i). 3,6,10,15 (ii). 6, 9, 27, 36 (iii). 4, 7, 8, 16

ভাগ পক্রিয়ার সাহায্যে বর্গমূল নির্ণয়

মৌলিক উৎপাদকের সাহায্যে বর্গমূল নির্ণয় করার পদ্ধতি ছোটো সংখ্যার জন্যে উপযুক্ত কিন্তু কোনও সংখ্যা খুব বড়ো হলে তাকে ভাগ পক্রিয়ার সাহায্যে বর্গমূল করা খুবেই সময় সাপেক্ষ এবং আকারে ও অনেক দীর্ঘ , তাই আমারা এখন ভাগ পক্রিয়ার সাহায্যে বর্গমূল নির্ণয় শিখব বড়ো এবং ছোটো উভয়ে সংখ্যার বর্গমূল করার জন্যে । ভাগপক্রিয়ার বর্গমূল নির্ণয় করার পদ্ধতি আমারা কতগুলি উদাহরণের সাহায্যে বুঝব ।

উদাহরণ ১১ : 729 এর বর্গমূল নির্ণয় করো ভাগ পক্রিয়ার সাহায্যে ।

সমাধান :

i. প্রথমে আমারা সংখ্যাটির মধ্যে অঙ্কগুলিকে ডানদিক থেকে বামদিকে জোড় জোড় করে মাথাতে বার চিহ্ন বসাব । বিজোড় সংখ্যক অঙ্ক থাকলে বাম দিকের শেষ একটি অঙ্কের মাথাতে বার থাকবে ।
ii. বাম দিক থেকে প্রথম জোড়ার অঙ্ক বা যদি বিজোড় সংখ্যক অঙ্ক থাকে তাহলে জোড়া করার পর বাম দিকে একটি অঙ্ক থাকবে এখানে যেমন 729 -এ বাম দিকে $\overline{7}$ থাকবে , এবার এমন একটি সংখ্যা সবথেকে বড়ো স্বাভাবিক সংখ্যা নিতে হবে যে ওই স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গ করলে 7 অথবা 7 থেকে কম মান হবে । উপরে ভাগফলের জায়গায় 2 এবং ভাজ্য এর জায়গায় 2 লিখব , এখন 7 থেকে 4 বিয়োগ করবো এবং ভাগশেষ 3 থাকবে
iii. ভাগশেষের পাশে, 7 এর ঠিক ডান দিকের জোড়টি 3 এর ডান দিকে বসাব, এখন ভাজ্য 329 হল ।

iv. ভাগফলকে দ্বিগুণ করে এখানে 4 পাবো এবং 4 কে নতুন ভাজ্যের জায়গায় বসাবো ।
v. এবার সবথেকে বড়ো অঙ্ক খুঁজে নতুন ভাজ্যের ডান দিকে বসিয়ে যে সংখ্যা পাবো সেই সংখ্যা কে সেই অঙ্ক টি দিয়ে গুন করবো যাতে গুণফলটি নতুন ভাজকের থেকে ছোটো বা সমান হয় এবং আমারা ওই সংখ্যাটি কে আগের ভাগফলের ডান দিকে বসাবো । এখানে আমারা 7 পাবো সংখ্যাটি এবং নতুন ভাজ্য টি হবে 47 , $47\times 7=329$ বিয়োগ করলে ভাগশেষ 0 হবে

Class-VIII / প্রশ্নমালা -6.2/ K. C. NAG

$\therefore \sqrt{729}=27$

উদাহরণ ১২ : চার অঙ্কের সবথেকে বড়ো পূর্ণবর্গ সংখ্যা নির্ণয় করো ।
সমাধান : চার অঙ্কের সবথেকে বড়ো সংখ্যা হল 9999 , চার অঙ্কের সবথেকে বড়ো পূর্ণবর্গ সংখ্যা নির্ণয়ের জন্যে আমারা 9999 কে ভাগ পক্রিয়ার সাহায্যে বর্গমূল করার চেষ্টা করবো ।

ভাগপক্রিয়ার সাহায্যে বর্গমূল করাতে আমারা দেখলাম যে , 198 ভাগশেষ থাকছে , এর মানে $\left ( 99 \right )^{2}$ এর মান 9999 থেকে 198 কম ,

$\therefore$ যদি 9999 থেকে 198 বিয়োগ করা হয় আমারা $\left ( 99 \right )^{2}$ পাবো এবং $\left ( 99 \right )^{2}$ হল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা ।

$\therefore$ নির্ণেয় পূর্ণবর্গ সংখ্যা হল $=\left ( 9999-198 \right )=9801$

$\therefore$ চার অঙ্কের সবথেকে বড়ো পূর্ণবর্গ সংখ্যা হল 9801 ।

উদাহরণ ১৩ : 6412 এর সঙ্গে সবথেকে ছোটো কোন সংখ্যা যোগ করলে 6412 একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে ।
সমাধান :
6412 কে ভাগপক্রিয়ার সাহায্যে বর্গমূল করার চেষ্টা করি ,

$\therefore$ বর্গমূল করাতে আমারা 12 ভাগশেষ পেলাম

$\therefore$ $\left ( 80 \right )^{2}< 6412$ $\left ( 80 \right )^{2}$ এর পরের পূর্ণ বর্গও সংখ্যা হল $\left ( 81 \right )^{2}=6561$

$\therefore$ নির্ণেয় সংখ্যা হবে $\left ( 81 \right )^{2}-6412=6561-6412=149$

$\therefore$ সবথেক ছোটো সংখ্যা যা 6412 এর সঙ্গে যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে তা হল 149 ।

উদাহরণ ১৪ : সবথেকে ছোটো কোন সংখ্যা 1989 থেকে বিয়োগ করলে , বিয়োগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে এবং পূর্ণবর্গ সংখ্যাটির বর্গমূল নির্ণয় করো ।
সমাধান : প্রথমে আমরা 1989 কে ভাগ পক্রিয়ার সাহায্যে বর্গমূল করার চেষ্টা করব

বর্গমূল করতে গিয়ে দেখছি , বর্গমূল পুরোপুরি ভাবে করা যাচ্ছে না ভাগশেষ 53 থাকছে ।

$\therefore$ 1989 পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয় এবং 1989 এর ঠিক আগের পূর্ণবর্গ সংখ্যা হল $\left ( 44 \right )^{2}=1936$ যদি 1989 থেকে 53 বিয়োগ করলে আমরা পাই = 1989-53 =1936 = $\left ( 44 \right )^{2}$

$\therefore$ সবথেকে ছোটো সংখ্যা হল 53 যা দিয়ে 1989 কে বিয়োগ করলে , বিয়োগফলটি একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে । এবং নির্ণেয় পূর্ণবর্গ সংখ্যার বর্গমূল = $\sqrt{1836}=44$

নিজেরা চেষ্টা করো :
1. ভাগ পক্রিয়ার সাহায্যে বর্গমূল নির্ণয় করো :
i. 167281ii. 53824iii. 106929iv. 4489
2. নিচের সংখ্যা গুলির সঙ্গে সবথেকে ছোটো কোন সংখ্যা যোগ করলে সংখ্যা গুলি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে ।
i. 1750ii. 6412iii. 6598iv. 8000
3. $\sqrt{208+\sqrt{2304}}$ এর মান নির্ণয় করো ।
4. আমাদের স্কুলের 1000 জন ছাত্রছাত্রীকে খেলার শিক্ষক খেলার সময়ে এমন ভাবে দাঁড়াতে বললেন যে যতগুলো সারি হবে প্রত্যেক সারিতে তত জন করে দাঁড়াবে , এই ভাবে সাজানোর জন্যে কিছু ছাত্রছাত্রী বাদ গেল । কতজন ছাত্রছাত্রী বাদ গিয়েছিল হিসাব করো ?

পূর্ণবর্গ সংখ্যার বর্গমূল বের করার সহজ পদ্ধতি:

http://sdtutoronline.com/square-root-of-perfect-square/

এর পরের পোস্ট -এ আমরা ভগ্নাংশ সংখ্যার এবং দশমিক সংখ্যার বর্গমূল নিয়ে আলোচনা করবো

এই ব্লগ সাইটটির আরও উন্নতির জন্যে সকলের কাছে থেকে যেকোনো ধরনের পরামর্শ সাদরে গ্রহন করা হবে।

Spread/ share this post

Leave a Comment Cancel reply